“優(yōu)化”是生活中經(jīng)常使用的詞：開車時(shí)希望能在安全的前提下以最短時(shí)間到達(dá)目的地；雙11做功課考慮各種優(yōu)惠活動，希望獲得最大優(yōu)惠；超市進(jìn)貨時(shí)需要考慮動銷存，最大化提高物品周轉(zhuǎn)效率。 這些問題都是“最優(yōu)化問題”，也是數(shù)學(xué)建模中的典型問題，是各大數(shù)學(xué)建模比賽里的?？汀?nbsp; 優(yōu)化題型有三要素：決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。 （1）決策變量：是決策者可以控制的因素，例如根據(jù)不同的實(shí)際問題，決策變量可以選為產(chǎn)品的產(chǎn)量、物資的運(yùn)量及工作的天數(shù)等。 （2） 目標(biāo)函數(shù)：是以函數(shù)形式來表示決策者追求的目標(biāo)。例如目標(biāo)可以是利潤最大或成本最小等。 （3） 約束條件：是決策變量需要滿足的限定條件。 歷年國賽優(yōu)化問題： 優(yōu)化問題的出發(fā)點(diǎn)是系統(tǒng)思維，其基本思路是在一定的約束條件下，保證各方面資源的合理分配， 最大限度地提升系統(tǒng)某一性能或系統(tǒng)整體性能，最終實(shí)現(xiàn)最理想結(jié)果。對于這類問題，想要建立并求解數(shù)學(xué)模型，可以參考以下思路： （1）明確目標(biāo)，分析問題背景，確定約束條件，搜集全面的客觀數(shù)據(jù)和信息。 （2）建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，設(shè)立目標(biāo)函數(shù)。 （3）分析數(shù)學(xué)模型，綜合選擇最適合該模型的優(yōu)化方法。 （4）求解模型，通常借助計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)分析軟件完成。 （5）對最優(yōu)解進(jìn)行檢驗(yàn)和實(shí)施。 PS.北太天元內(nèi)已有優(yōu)化工具箱optimization，可以調(diào)用工具箱解決優(yōu)化類問題。 下面給大家分享幾種數(shù)學(xué)建模中常用優(yōu)化算法： 1、線性規(guī)劃 在人們的生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常會遇到如何利用現(xiàn)有資源來安排生產(chǎn)，以取得最大經(jīng)濟(jì)效益的問題。此類問題構(gòu)成了運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支—數(shù)學(xué)規(guī)劃，而線性規(guī)劃(Linear Programming 簡記 LP)則是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)重要分支。 1.1 用北太天元求解線性規(guī)劃問題 北太天元內(nèi)已有優(yōu)化工具箱optimization，其中的linprog等相關(guān)函數(shù)可用于求解線性規(guī)劃問題。 1.2 線性規(guī)劃特點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)： （1）作為經(jīng)營管理決策中的數(shù)學(xué)手段，在現(xiàn)代決策中的應(yīng)用非常廣泛。 （2）有統(tǒng)一算法，任何線性規(guī)劃問題都能求解，解決多變量最優(yōu)決策的方法。 （3）訓(xùn)練速度快。 （4）預(yù)測速度快，可以推廣到非常大的數(shù)據(jù)集，對稀疏數(shù)據(jù)也很有效。 缺點(diǎn)： （1）對于數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性要求高，只能對線性的問題進(jìn)行規(guī)劃約束，而且計(jì)算量大。 1.3 相關(guān)問題 運(yùn)輸問題(產(chǎn)銷平衡)、指派問題（匈牙利算法）、對偶理論與靈敏度分析、投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)。 2、整數(shù)規(guī)劃 規(guī)劃中的變量（部分或全部）限制為整數(shù)時(shí)，稱為整數(shù)規(guī)劃。若在線性規(guī)劃模型中，變量限制為整數(shù)，則稱為整數(shù)線性規(guī)劃。目前所流行的求解整數(shù)規(guī)劃的方法，往往只適用于整數(shù)線性規(guī)劃。目前還沒有一種方法能有效地求解一切整數(shù)規(guī)劃。 2.1 用北太天元求解線性混合整數(shù)規(guī)劃問題 可在北太天元內(nèi)調(diào)用優(yōu)化工具箱optimization，使用intlinprog等相關(guān)函數(shù)求解線性混合整數(shù)規(guī)劃問題。 2.2 整數(shù)規(guī)劃的分類 如不加特殊說明，一般指整數(shù)線性規(guī)劃。對于整數(shù)線性規(guī)劃模型大致可分為兩類： （1）變量全限制為整數(shù)時(shí)，稱純（完全）整數(shù)規(guī)劃。 （2）變量部分限制為整數(shù)的，稱混合整數(shù)規(guī)劃。 2.3 整數(shù)規(guī)劃特點(diǎn) 原線性規(guī)劃有最優(yōu)解，當(dāng)自變量限制為整數(shù)后，其整數(shù)規(guī)劃解出現(xiàn)下述情況： （1）原線性規(guī)劃最優(yōu)解全是整數(shù)，則整數(shù)規(guī)劃最優(yōu)解與線性規(guī)劃最優(yōu)解一致。 （2）整數(shù)規(guī)劃無可行解。 （3）有可行解（當(dāng)然就存在最優(yōu)解），但最優(yōu)解值變差。 整數(shù)規(guī)劃最優(yōu)解不能按照實(shí)數(shù)最優(yōu)解簡單取整而獲得。 2.4 求解方法分類 （1）分枝定界法—可求純或混合整數(shù)線性規(guī)劃。 （2）割平面法—可求純或混合整數(shù)線性規(guī)劃。 （3）隱枚舉法—求解“0-1”整數(shù)規(guī)劃：過濾隱枚舉法；分枝隱枚舉法。 （4）匈牙利法—解決指派問題（“0-1”規(guī)劃特殊情形）。 （5）蒙特卡洛法—求解各種類型規(guī)劃。 3、非線性規(guī)劃 如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件中包含非線性函數(shù)，就稱這種規(guī)劃問題為非線性規(guī)劃問題。一般說來，解非線性規(guī)劃要比解線性規(guī)劃問題困難得多。而且，也不象線性規(guī)劃有單純形法這一通用方法，非線性規(guī)劃目前還沒有適于各種問題的一般算法，各個(gè)方法都有自己特定的適用范圍。 3.1 線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃的區(qū)別 如果線性規(guī)劃的最優(yōu)解存在，其最優(yōu)解只能在其可行域的邊界上達(dá)到（特別是可行域的頂點(diǎn)上達(dá)到）；而非線性規(guī)劃的最優(yōu)解（如果最優(yōu)解存在）則可能在其可行域的任意一點(diǎn)達(dá)到。 3.2 相關(guān)問題 無約束問題（一維搜索方法、二次插值法、無約束極值問題的解法）、約束極值問題（二次規(guī)劃、罰函數(shù)法）、飛行管理問題 4、動態(tài)規(guī)劃 動態(tài)規(guī)劃（dynamic programming）是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，是求解決策過程（decisionprocess）最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。例如最短路線、庫存管理、資源分配、設(shè)備更新、排序、裝載等問題，用動態(tài)規(guī)劃方法比用其它方法求解更為方便。 雖然動態(tài)規(guī)劃主要用于求解以時(shí)間劃分階段的動態(tài)過程的優(yōu)化問題，但是一些與時(shí)間無關(guān)的靜態(tài)規(guī)劃（如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃），只要人為地引進(jìn)時(shí)間因素，把它視為多階段決策過程，也可以用動態(tài)規(guī)劃方法方便地求解。應(yīng)指出，動態(tài)規(guī)劃是求解某類問題的一種方法，是考察問題的一種途徑，而不是一種特殊算法（如線性規(guī)劃是一種算法）。因而，它不象線性規(guī)劃那樣有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式和明確定義的一組規(guī)則，而必須對具體問題進(jìn)行具體分析處理。因此，在學(xué)習(xí)時(shí)，除了要對基本概念和方法正確理解外，應(yīng)以豐富的想象力去建立模型，用創(chuàng)造性的技巧去求解。 5、多目標(biāo)規(guī)劃 多目標(biāo)規(guī)劃已經(jīng)應(yīng)用到科學(xué)的許多領(lǐng)域，包括工程、經(jīng)濟(jì)和物流，在兩個(gè)或更多沖突的目標(biāo)之間存在取舍時(shí)，需要采取最優(yōu)決策。 解決多目標(biāo)規(guī)劃問題的方法： （1）將多目標(biāo)化為單目標(biāo) (給多個(gè)目標(biāo)賦予權(quán)重) （2）保持多目標(biāo)不變，根據(jù)自己的偏好選擇解 實(shí)際問題中，目標(biāo)函數(shù)相互沖突是很常見的，例如購買汽車時(shí)，要求花費(fèi)少且舒適度高或者要求性能好油耗低，這種問題并沒有絕對最優(yōu)解（因?yàn)椴]有確定多個(gè)目標(biāo)的權(quán)值），但是我們可以根據(jù)自己的需要選擇一個(gè)相對好的（達(dá)到我們想要的最佳平衡）。為了尋求這種“最佳平衡”，可以采用算法帕累托最優(yōu)（Pareto optimal）。 以上部分內(nèi)容引用公眾號“科研交流”，希望對大家有幫助，覺得有用就點(diǎn)個(gè)贊吧。小助手會不定期更新數(shù)學(xué)建模干貨，可以多多關(guān)注喲。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模：基于Baltamatica作者：華中科技大學(xué) 馬世拓首先非常感謝北京大學(xué)盧朓老師和李若老師等大咖對本項(xiàng)目的支持。這個(gè)項(xiàng)目是我春節(jié)的時(shí)候?qū)懙模瑸榱舜龠M(jìn)新手學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模并推廣北太天元軟件。書稿是我編寫，參考了我大二的時(shí)候?qū)懙摹稊?shù)據(jù)科學(xué)基礎(chǔ)：from 0 to 1》和正在北大出版社審稿的《MATLAB數(shù)學(xué)建模》。有些地方可能寫的還有點(diǎn)生草，因?yàn)榈拇_是對我在前期書稿的一個(gè)重排、刪改與整合。里面如果有一些有誤的地方歡迎與我聯(lián)系。項(xiàng)目的下載地址鏈接：github下載鏈接: github版數(shù)學(xué)建模教程gitee下載鏈接: gitee版數(shù)學(xué)建模教程百度網(wǎng)盤鏈接：鏈接：https://pan.baidu.com/s/17Q4_kcgP8Hx7hF6kWaykmA 提取碼：g79k為什么要寫這本教材我在華中科技大學(xué)的時(shí)候就很喜歡數(shù)學(xué)建模競賽，一直探索數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)。我講過基于Python版本的數(shù)學(xué)建模，也講過基于MATLAB版本的數(shù)學(xué)建模。但是基于北太天元，我們還是第一次嘗試。Python和MATLAB這兩個(gè)系列更多的要求我們“先知其然，后知其所以然”，這也是“學(xué)術(shù)”和“工程”的辯證統(tǒng)一。北太天元則不同，它是剛起步的，有很多插件還沒有弄好，還存在一些底層的問題，所以在使用北太天元做建模的時(shí)候要注意從底層原理學(xué)習(xí)起，寧可學(xué)的東西沒那么多，但是要理解底層邏輯。這本教材的優(yōu)點(diǎn)據(jù)盧朓老師跟我說，這應(yīng)該是業(yè)內(nèi)第一本開源的北太天元教程。我的初衷是推廣到競賽中，讓學(xué)生有膽氣沖擊北太數(shù)模之星的冠名獎。在編寫過程中，我不喜歡市面上大多數(shù)教材的寫法，太死板，也太沒人性化。恕我直言，對于那些不講人話的學(xué)術(shù)類書稿，你如果是給同行傳閱倒也罷了，但是你的受眾是學(xué)生，我考教師資格證的時(shí)候就明確記得有“量力性”這一條要求。不講人話的書稿我必須得奉上一句“RNM退錢”，所以，我在編寫過程中盡可能做到通俗易懂，讓讀者能夠輕易上手接受。此外，書稿大綱是我在華中科大給同學(xué)們作數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)磨了幾輪才形成的大綱，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了刪改，將過于復(fù)雜的一些章節(jié)去掉了，更容易被同學(xué)們接受。作為計(jì)科人，我始終記得譚志虎副院長和秦磊華副院長給我們強(qiáng)調(diào)的軟硬協(xié)同觀。在本書編寫的過程中，雖然更多的是數(shù)值計(jì)算與模擬方面的東西，但是也同樣以自己的理解從軟硬協(xié)同的角度在看這個(gè)軟件。本人在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域功力尚淺，是當(dāng)時(shí)專業(yè)課學(xué)的很拉胯的程度，如果有一些錯(cuò)誤之處歡迎批評斧正，讀者朋友們見笑。特此聲明本書將免費(fèi)開源不收取任何費(fèi)用，但是請注意一些版權(quán)問題。如果是從我的github或gitee主頁下載的書稿，還請star一下可以咩謝謝。最后再次感謝盧朓老師和李若老師等人的支持！~
基于Baltamulink的汽車單自由度振動力學(xué)模型的建立由于汽車在行走時(shí)，路面不平，汽車行駛中的路面可簡化成正弦函數(shù)?？砂哑囆凶叩穆访婵醋黾?lì)，忽略輪胎的彈性與質(zhì)量，得到分析車身垂直振動的最簡單的單質(zhì)量系統(tǒng)，適用于低頻激勵(lì)情況。汽車行駛可看作如下模型： 上圖為單一自由度系統(tǒng)的簡圖，設(shè)X(t)及Xs(t)分別是質(zhì)量塊及支承的位移，支承的運(yùn)動規(guī)律是：Xs =asinwt由于支承的運(yùn)動，質(zhì)量塊收到的彈性恢復(fù)力為k(X - Xs)，阻尼力為c(Vx-Vxs)根據(jù)達(dá)朗伯原理可得如下的運(yùn)動微分方程： 由（1）和（2）得： 在此系統(tǒng)中除了有彈性恢復(fù)力及阻尼力作用外，還始終作用于簡諧激勵(lì)力： Px=P0sinwt簡諧激勵(lì)：激勵(lì)隨時(shí)間的變化規(guī)律可用正弦或余弦函數(shù)表示；振動響應(yīng)亦為時(shí)間的正弦和余弦函數(shù)（簡諧振動）。結(jié)合上面的運(yùn)動微分方程和簡諧激勵(lì)力方程，可得系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為： 令：物體質(zhì)：m = 1 kg，彈簧剛度：k = 3 N/m，阻尼：c = 4 N·s/m，作用力P = 2sin(2t + π/3)，研究物體的位移隨時(shí)間的變化規(guī)律。通過北太真元建立系統(tǒng)運(yùn)動微分方程模型，如下圖所示：設(shè)置參數(shù)：正弦波產(chǎn)生模塊：幅值：2；偏置：0；頻率(弧度/秒)：2；相位(弧度)：pi/3≈1；一階積分模塊：積分初始值：0.5；增益模塊：增益數(shù)值：4；常量模塊：常量值：3；結(jié)束時(shí)間：10s；求解器：ode4；步長：0.01s。得到的仿真結(jié)果，如下圖所示：
問題：二階電路動態(tài)系統(tǒng)中，該系統(tǒng)是由電阻R、電感L和電容C組成的無源網(wǎng)絡(luò)；ui(t)為輸入，i(t)為電流，u0(t)為輸出；設(shè)R=1Ω，L= 2H，C=2F；系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0，外加的輸入為單位階躍信號。求系統(tǒng)的輸出波形。圖：二階電路動態(tài)系統(tǒng)首先，在解決該問題時(shí)，需要了解基爾霍夫電壓定律；它的內(nèi)容是，在任何一個(gè)閉合回路中，各元件上的電壓降的代數(shù)和等于電動勢的代數(shù)和，即從一點(diǎn)出發(fā)繞回路一周回到該點(diǎn)時(shí)，各段電壓的代數(shù)和恒等于零，即∑U=0?；鶢柣舴螂妷憾杀砻鳎貉刂]合回路所有元件兩端的電勢差（電壓）的代數(shù)和等于零?；蛘呙枋鰹椋貉刂]合回路的所有電動勢的代數(shù)和等于所有電壓降的代數(shù)和。以方程表達(dá)，對于電路的任意閉合回路有：其中，m 是這閉合回路的元件數(shù)目，vk 是元件兩端的電壓，可以是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)?；鶢柣舴螂妷憾刹粌H應(yīng)用于閉合回路，也可以把它推廣應(yīng)用于回路的部分電路。根據(jù)上述原理，可寫出上面問題的回路方程如下：L di(t)/dt + 1/C∫i(t)dt + Ri(t) = ui(t)消去中間變量i(t)，可以得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為：LC d2u0(t)/dt2 + RC du0(t)/dt + u0(t) = ui(t)帶入電路參數(shù)R=1Ω，L= 2H，C=2F；整理可得：d2u0(t)/dt2 + 0.5 du0(t)/dt + 0.25u0(t) = 0.25ui(t)從方面方程可以得到，傳遞函數(shù)分子等式右邊系數(shù)：[0.25]；分母為左邊等式系數(shù)：[1 0.5 0.25]根據(jù)該系數(shù)，在北太真元設(shè)計(jì)傳遞函數(shù)仿真模型，再加入一個(gè)階躍信號模塊，得到仿真模型如下圖所示：設(shè)置：仿真時(shí)長：40s求解器為：定步長；步長：1s；得到仿真結(jié)果如下圖所示：在MATLAB中創(chuàng)建相同模型，仿真時(shí)間、仿真求解器、步長均相同；仿真模型和仿真結(jié)果如下圖所示： 通過對比發(fā)現(xiàn)，北太真元計(jì)算結(jié)果與MATLAB仿真結(jié)果完全一致。
問題：單質(zhì)量彈簧阻尼機(jī)械系統(tǒng)類似于下圖，外力f(x)為輸入量；質(zhì)量位移x(t)為輸出量；質(zhì)量m為1kg；剛度為5N/m；阻尼系數(shù)f為0.3N·s/m。繪制系統(tǒng)位移輸出響應(yīng)曲線。圖1：單質(zhì)量彈簧阻尼機(jī)械系統(tǒng)首先：單質(zhì)量彈簧阻尼機(jī)械系統(tǒng)的震動方程為：m dx2/dt2 + c dx/dt + kx = f(x)取狀態(tài)向量為X(t) = [x(t) dx/dt]’，輸出向量為U=[f(x)]，輸出向量為Y=[x(t)]，則狀態(tài)方程為： dX/dt = AX(t) + BUY = CX(t) + DU式中，A = [0 1; -k/m -c/m]; B = [0; 1/m]; C = [1 0]; D = 0;(m = 1; k = 5; c = 0.3)。其次，通過計(jì)算得到傳遞函數(shù)的分子分母系數(shù)為：[1]； [1 0.3 5];即，傳遞函數(shù)為G(s) = 1/(s^2 + 0.3 s + 5);最后，利用北太真元建立傳遞函數(shù)仿真模型，如下圖所示：設(shè)置：仿真時(shí)長：10s求解器為：定步長 ode4；步長：1s輸入常量10仿真結(jié)果如下圖所示：在MATLAB中創(chuàng)建相同模型，仿真時(shí)間、仿真求解器、步長均相同；仿真模型和仿真結(jié)果如下圖所示：通過對比發(fā)現(xiàn)，北太真元計(jì)算結(jié)果與MATLAB仿真結(jié)果完全一致。
1 模型假設(shè)1) 忽略轉(zhuǎn)向系的影響，以前、后輪轉(zhuǎn)角作為輸入；2) 汽車只進(jìn)行平行于地面的平面運(yùn)動，而忽略懸架的作用；3) 汽車前進(jìn)（縱軸）速度不變，只有沿y軸的側(cè)向速度和繞z軸的橫擺運(yùn)動(ay<0.4g) ；4) 驅(qū)動力不大，對側(cè)偏特性無影響；5) 忽略空氣阻力；6) 忽略左右輪胎因載荷變化引起輪胎特性的變化；7) 忽略回正力矩的變化。2 模型建立根據(jù)模型假設(shè)建立如圖1所示的二自由度汽車模型。對模型受力分析，存在3個(gè)方向的受力平衡，分別為x、y和繞Z的力矩平衡，建立力學(xué)方程如下。3 模型仿真在baltamulink中搭建狀態(tài)空間模型，模型如圖所示。（1）在前輪偏轉(zhuǎn)角為1，后輪偏轉(zhuǎn)角為1，車速為40km/h的情況下，輸出前后輪的橫向位移情況，輸出結(jié)果如圖3。圖34 結(jié)論通過建立汽車動力學(xué)模型，對汽車操縱性進(jìn)行餓模擬。根據(jù)仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)車速和前輪轉(zhuǎn)角都對二自由度汽車的操縱穩(wěn)定性有很大影響。汽車以較低速度、較小的前輪轉(zhuǎn)角行駛時(shí)，是相對安全的。通過分析圖3可以看出前、后輪的橫向位移都是發(fā)散的，這是因?yàn)榻o前輪的一個(gè)階躍響應(yīng)，一直存在前輪轉(zhuǎn)角，同時(shí)系統(tǒng)沒有加入閉環(huán)控制，屬于開環(huán)控制，這就導(dǎo)致前后輪的橫向位移處于發(fā)散狀態(tài)。附錄baltamatica代碼如下clc;clear;close all;%% 基本車輛參數(shù)v=40/3.6;%輸入為km/h，方程單位為m/sm=16000;%車重I=10.85*m;%轉(zhuǎn)動慣量cf=340000;%側(cè)偏剛度cr=cf;lf=2.65;%前軸到重心的距離lr=3.35;%后軸到重心的距離a=pi/180;%% 組裝矩陣A=[-(cf+cr)/(m*v) -1-(cf*lf-cr*lr)/(m*v^2) 0 0 -(cf*lf-cr*lr)/I -(cf*lf^2+cr*lr^2)/(I*v) 0 0 v lf 0 0 v -lr 0 0];B=[cf/(m*v) cr/(m*v) cf*lf/I cr*lr/I 0 0 0 0];C=[0 0 1 0 0 0 0 1];D=zeros(2,2);
點(diǎn)擊鏈接查看：英才計(jì)劃與中學(xué)生培養(yǎng)（一）：卡脖子形勢下，人才培養(yǎng)方向何在？本文為北京大學(xué)重慶大數(shù)據(jù)研究院基礎(chǔ)軟件科學(xué)研究中心執(zhí)行主任、北太振寰創(chuàng)始人盧朓副教授在中國科協(xié)組織的中學(xué)生創(chuàng)新人才培養(yǎng)論壇上的分享。前文觀點(diǎn) 計(jì)算是求解數(shù)學(xué)模型的手段。可是對于中學(xué)生來說，很多算法的實(shí)現(xiàn)并非易事，因此可選擇的可以求解的數(shù)學(xué)模型就很少了。例如，求函數(shù)的最大值的問題，往往只能對二次函數(shù)，三角函數(shù)來求解，稍微復(fù)雜的函數(shù)就不會了。使用數(shù)值計(jì)算通用軟件，消除中學(xué)生求解難的疑慮 其實(shí)，很多數(shù)學(xué)模型對中學(xué)生來說還是比較容易掌握的。為了讓學(xué)生建模的時(shí)候可以選擇更多的模型，我建議學(xué)生使用數(shù)值計(jì)算通用軟件來消除求解難的顧慮。 借助數(shù)值計(jì)算通用軟件，更有利于培養(yǎng)同學(xué)們的數(shù)學(xué)建模能力，我舉幾個(gè)例子： 第一個(gè)例子是線性規(guī)劃、二次規(guī)劃和整數(shù)規(guī)劃之類的模型。實(shí)際上，中學(xué)生已經(jīng)接觸過這樣的問題了，但是往往局限在很小的數(shù)值范疇內(nèi)。這種模型的威力并未得到充分展現(xiàn)。 中學(xué)生如果使用數(shù)值計(jì)算通用軟件來求解此類問題，那么就可以把更多精力放在體會這種數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)上。 我在B站上給出了一個(gè)視頻，展示了如何使用數(shù)值計(jì)算通用軟件求解整數(shù)規(guī)劃問題，我相信感興趣的中學(xué)生可以很快學(xué)會使用計(jì)算機(jī)求解整數(shù)規(guī)劃問題的方式。 第二個(gè)例子與使用常微分方程的初值問題建模有關(guān)，這個(gè)可以和物理學(xué)科結(jié)合起來。我們可以通過測量物體在不同時(shí)刻的位移，把數(shù)據(jù)畫出來，借助于常微分方程給出物理運(yùn)動規(guī)律，這樣就是在重走牛頓當(dāng)年的發(fā)現(xiàn)之路。至于常微分方程初值問題的求解則可以借助數(shù)值計(jì)算通用軟件來完成。 第三個(gè)例子是關(guān)于機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的算法。 我在B站上給出了如何使用數(shù)值計(jì)算通用軟件讀取Excel數(shù)據(jù)，然后如何使用樸素貝葉斯來判斷西瓜好壞的例子，也可以供中學(xué)生學(xué)習(xí)。 總之，我建議中學(xué)生借助數(shù)值計(jì)算通用軟件來了解讀取數(shù)據(jù)、數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計(jì)算以及計(jì)算結(jié)果的可視化等環(huán)節(jié)，然后選取自己感興趣的部分多下功夫，其它環(huán)節(jié)則可以通過數(shù)值計(jì)算通用軟件具有的內(nèi)置函數(shù)以及插件來完成。 參加“英才計(jì)劃”的學(xué)生不一定都要找現(xiàn)實(shí)中的問題來做數(shù)學(xué)建模，還可以通過閱讀文獻(xiàn)來學(xué)習(xí)。如果對數(shù)學(xué)或者其他學(xué)科的某些定理和知識點(diǎn)感興趣，可以通過數(shù)值計(jì)算通用軟件來驗(yàn)證，加深對這些定理的理解。 這樣的計(jì)算不能代替證明，但是幫助大家體會這個(gè)知識點(diǎn)的含義。 通過“英才計(jì)劃”，我希望學(xué)生在多個(gè)方面有所收獲，如： 1.提升搜集、理解、組織數(shù)據(jù)的技能，數(shù)學(xué)建模能力，團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力以及論文寫作能力； 2.培養(yǎng)定量研究發(fā)展變化規(guī)律的習(xí)慣，培養(yǎng)好奇心、想象力、創(chuàng)造力和表達(dá)力； 3.了解計(jì)算機(jī)算法和原理、數(shù)值計(jì)算通用軟件的基本用法，對數(shù)學(xué)知識的用途有更深的認(rèn)識等。從數(shù)值計(jì)算通用軟件的推薦談開去：“被禁”以后，我們該做些什么？ 科學(xué)計(jì)算已經(jīng)成為與理論和實(shí)驗(yàn)并列的科學(xué)研究的基本手段?？茖W(xué)計(jì)算軟件可以分成兩種類型：專用型和通用型。 通用型科學(xué)計(jì)算軟件是開發(fā)工業(yè)軟件的重要基礎(chǔ)性工具，長期以來，這一部分的市場由國外公司壟斷。通用型數(shù)值計(jì)算軟件就好像連接各個(gè)工廠的高速公路一樣，是數(shù)值計(jì)算軟件中的基礎(chǔ)設(shè)施。有了高速公路的連接，工廠的原材料才能運(yùn)進(jìn)來，生產(chǎn)的產(chǎn)品才能更方便地送到用戶手里。 在向參加“英才計(jì)劃”的學(xué)生推薦數(shù)值計(jì)算通用軟件時(shí)，我最初考慮的是MATLAB。但由于這是一款商業(yè)軟件，我擔(dān)心購買軟件會給學(xué)生帶來額外的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)，所以并未選擇。 2020年，美國商務(wù)部宣布新增33 家中國公司及機(jī)構(gòu)列入 “實(shí)體清單”，中國大陸共有 13 所高校被列入該清單，分別為哈爾濱工業(yè)大學(xué)、哈爾濱工程大學(xué)、中國人民大學(xué)、北京航空航天大學(xué)、西安交通大學(xué)、西北工業(yè)大學(xué)、四川大學(xué)、電子科技大學(xué)、湖南大學(xué)、國防科技大學(xué)、同濟(jì)大學(xué)、南昌大學(xué)、廣東工業(yè)大學(xué)。MATLAB 所屬公司 MathWorks 中止了對以上高校的正版授權(quán)。 這讓我為當(dāng)初自己的選擇感到慶幸，也讓很多人意識到通用型數(shù)值計(jì)算軟件是一個(gè)“卡脖子”技術(shù)，沒有這個(gè)技術(shù)，我們自己開發(fā)的專用軟件或者算法就無法得到廣泛的應(yīng)用。但當(dāng)時(shí)我仍想著：好在，我們還有Python可以使用。 可在俄羅斯-烏克蘭戰(zhàn)爭爆發(fā)后，據(jù)相關(guān)報(bào)道顯示“目前已經(jīng)有多達(dá)30個(gè)開源項(xiàng)目加入了對俄羅斯的抵制，其中甚至包括亞馬遜（AWS Terraform modules）和Oracle等科技巨頭的項(xiàng)目，也不乏MongoDB、pnpm、es5-ext、Drupal、Redis Desktop Manager等流行項(xiàng)目”。這讓我進(jìn)一步認(rèn)識到：這類開源軟件的主導(dǎo)權(quán)如果是掌握在別人的手里，仍然蘊(yùn)藏著危險(xiǎn)。 事實(shí)上，中國的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和理論數(shù)學(xué)研究在國際上還是處于領(lǐng)先地位。在涉及具體的算法或?qū)Ｓ眯蛿?shù)值計(jì)算軟件領(lǐng)域，我們中國的科學(xué)家也取得了很好的成績，在有關(guān)算法的頂級雜志上，中國人發(fā)表論文的數(shù)量和質(zhì)量都位于前列，有很多算法被國外的通用型數(shù)值計(jì)算軟件集成，得到了廣泛的應(yīng)用。 但是我們?nèi)狈ο馦ATLAB這樣的數(shù)值計(jì)算通用軟件。這是為什么呢？ 因?yàn)?，通用型的?shù)值計(jì)算軟件的開發(fā)需要耗費(fèi)大量的時(shí)間，需要投入大量的人力物力，無法在短期內(nèi)做出高精尖的成果。研發(fā)過程中需要有關(guān)鍵的技術(shù)基礎(chǔ)，要掌握核心關(guān)鍵的規(guī)律、知識和方法，這些都只能通過“學(xué)中干”和“干中學(xué)”相結(jié)合才能獲得。 工業(yè)軟件可以說是現(xiàn)代產(chǎn)業(yè)體系之魂。目前，歐美的工業(yè)軟件幾乎已經(jīng)滲透了所有工業(yè)領(lǐng)域的核心環(huán)節(jié)。發(fā)展具有自主知識產(chǎn)權(quán)的工業(yè)軟件刻不容緩，對掌握我國產(chǎn)業(yè)發(fā)展的主導(dǎo)權(quán)，增強(qiáng)工業(yè)體系的韌性和抗打擊性都非常重要。 而通用型數(shù)值計(jì)算軟件的研發(fā)意義尤為重大：它不僅自己就是一個(gè)工業(yè)軟件，還能夠成為其他工業(yè)軟件的底座，防止國產(chǎn)工業(yè)軟件被釜底抽薪；同時(shí)，數(shù)值計(jì)算通用軟件也是一個(gè)非常好的創(chuàng)新平臺；正如前文所述，此類軟件對于人才培養(yǎng)也至關(guān)重要。 通用型數(shù)值計(jì)算軟件的成功研發(fā)，將是對人類文明的貢獻(xiàn)，也是國家軟實(shí)力的標(biāo)志之一。因此，雖然困難重重，我和其他志同道合的伙伴們還是決心開發(fā)具有自主知識產(chǎn)權(quán)的通用型數(shù)值計(jì)算軟件，破解“卡脖子”問題。 （未完待續(xù)）作者簡介
17.1 原理 完整思想請看我前面寫的路徑規(guī)劃（十三）基于搜索的路徑規(guī)劃算法-前言,，和其他的基于搜索的路徑規(guī)劃算法的區(qū)別僅在于啟發(fā)式函數(shù)的不同. 雙向A*則稍微復(fù)雜些，但可以簡單理解為起始節(jié)點(diǎn)和終點(diǎn)同時(shí)將對方視為目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，并按照A*的啟發(fā)式函數(shù)，相向生長，當(dāng)兩者相遇時(shí)，則停止迭代，并分別往回追溯自己的父節(jié)點(diǎn)即可得到路徑。17.2 程序示例
16.1 原理 完整思想請看我前面寫的路徑規(guī)劃（十三）基于搜索的路徑規(guī)劃算法-前言，，和其他的基于搜索的路徑規(guī)劃算法的區(qū)別僅在于啟發(fā)式函數(shù)的不同 A*則是結(jié)合了Best-first Searching和Dijkstra，它將當(dāng)前節(jié)點(diǎn)到初始節(jié)點(diǎn)和到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的距離之和作為啟發(fā)式函數(shù)。16.2 程序示例16.3 參考A Formal Basis for the heuristic Determination of Minimum Cost Paths
15.1 原理完整思想請看我前面寫的路徑規(guī)劃（十三）基于搜索的路徑規(guī)劃算法-前言，和其他的基于搜索的路徑規(guī)劃算法的區(qū)別僅在于啟發(fā)式函數(shù)的不同Dijkstra則和Best-first-searching相反，它不是將到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的距離作為啟發(fā)式函數(shù)，而是將到起始節(jié)點(diǎn)的距離作為啟發(fā)式函數(shù)。15.2 程序示例
14.1 原理這里的Best-first-searching和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)里學(xué)的圖搜索算法BFS（廣度優(yōu)先搜索）不是一個(gè)東西。完整思想請看我前面寫的路徑規(guī)劃（十三）基于搜索的路徑規(guī)劃算法-前言下面說說Best-first-searching的核心思想：Best-first Searching的啟發(fā)式函數(shù)f(x)=dist(x,x_goal)，即Best-first Searching每一步都在預(yù)選集合中尋找距離目標(biāo)節(jié)點(diǎn)最近的的那個(gè)節(jié)點(diǎn)。這里的dist(x,y)，如果節(jié)點(diǎn)x,y無法通過碰撞檢測，則為inf，如果能通過碰撞檢測，可以直接用歐幾里得距離代替。14.2 程序示例14.3 參考https://blog.csdn.net/potato_uncle/article/details/109124362?ops_request_misc=&request_id=&biz_id=102&utm_term=best%20first%20search&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~sobaiduweb~default-1-109124362.nonecase&spm=1018.2226.3001.4187
基于搜索的路徑規(guī)劃算法基本都是一個(gè)套路，它們都是根據(jù)啟發(fā)函數(shù)重備用節(jié)點(diǎn)的集合中來尋找下一個(gè)節(jié)點(diǎn)，不同的啟發(fā)函數(shù)也就有不同的搜索類算法。搜索類算法是離散化的算法，體現(xiàn)在整個(gè)圖的區(qū)域是由有限個(gè)小方塊區(qū)域組成的。我們暫且把這些小方塊區(qū)域稱為“節(jié)點(diǎn)”。因此，整個(gè)區(qū)域被有限個(gè)節(jié)點(diǎn)填充，且每個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)為有限個(gè)。設(shè)置兩個(gè)集合OPEN,CLOSE，OPEN初始狀態(tài)設(shè)為{x_init}，CLOSE 初始狀態(tài)設(shè)為空集。依據(jù)不同的啟發(fā)式函數(shù)，從open集中選擇一個(gè)點(diǎn)加入到close集中，然后拓展open集，如上圖，右下角的某個(gè)點(diǎn)被某種啟發(fā)式函數(shù)選中，加入到close集中，并相繼拓展open集下面介紹下搜索類算法的前進(jìn)過程：當(dāng)上述偽碼退出循環(huán)后，沿著x_goal的父節(jié)點(diǎn)往前回溯極為路徑各搜索類算法的區(qū)別在于第三行啟發(fā)函數(shù)的類型的不同，導(dǎo)致連接的節(jié)點(diǎn)不同。
幾種RRT對比如下：幾種RRT對比視圖mp4 RRT及其變種都是依托于采樣+在樹結(jié)構(gòu)上加減枝的形式進(jìn)行路徑規(guī)劃的，具有全局收斂特性，但是效率穩(wěn)定性不高。不過可以針對性地對其主要函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化進(jìn)行效率的改進(jìn)：優(yōu)化采樣，優(yōu)化樹結(jié)構(gòu)等。一種加速RRT的思路就是，從起始點(diǎn)和目標(biāo)節(jié)點(diǎn)同時(shí)生長RRT樹，這就是connected_RRT。此外，針對變化的環(huán)境，還有extend_RRT和Dynamic_RRT。 RRT*是一種趨近于最優(yōu)路徑的方案，它通過重布線來實(shí)現(xiàn)這一目的，它在理論上能達(dá)到最優(yōu)解，但它全局隨機(jī)撒點(diǎn)的特性導(dǎo)致它在遠(yuǎn)離目標(biāo)路徑的地方做了過多的生長。 為了集中優(yōu)化資源，RRT*-smart應(yīng)運(yùn)而生，它比較在乎路徑和障礙物的拐點(diǎn)的附近的優(yōu)化，它通過路徑優(yōu)化步驟判斷出路徑和障礙物的拐點(diǎn)，并在拐點(diǎn)的鄰域內(nèi)投入更多的資源（即撒更多的點(diǎn)），以實(shí)現(xiàn)集中優(yōu)化資源。 但RRT*-smart依然浪費(fèi)了太多的隨機(jī)點(diǎn)在遠(yuǎn)離目標(biāo)路徑的區(qū)域，那什么才叫不遠(yuǎn)離目標(biāo)路徑的區(qū)域呢？informed RRT*則解決了這一問題，它利用初始路徑的長度，起始點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)，畫出了一個(gè)橢圓，informed RRT*認(rèn)為，這個(gè)橢圓區(qū)域就是不遠(yuǎn)離目標(biāo)路徑的區(qū)域，生成這個(gè)橢圓后，后續(xù)的隨機(jī)撒點(diǎn)只灑在這個(gè)橢圓區(qū)域內(nèi)，當(dāng)更優(yōu)的路徑被發(fā)現(xiàn)，則根據(jù)這個(gè)新路徑的長度，縮小橢圓，進(jìn)一步在有效區(qū)域集中撒點(diǎn)資源，以實(shí)現(xiàn)加速。 然而，RRT*類的算法是總會面臨一個(gè)問題，那就是重布線，這個(gè)令RRT*能夠逼近最優(yōu)解的創(chuàng)新恰恰成為了它慢的原因。 于是，另一種思路被提出，那就是提前給定隨機(jī)點(diǎn)，然后通過啟發(fā)式函數(shù)來連接這些點(diǎn)以生長路徑，這就是FMT*，F(xiàn)MT*專門針對解決高維構(gòu)型空間中的復(fù)雜運(yùn)動規(guī)劃問題，在預(yù)先確定的采樣點(diǎn)數(shù)量上執(zhí)行前向動態(tài)規(guī)劃遞歸，并相應(yīng)地通過在代價(jià)到達(dá)空間中穩(wěn)步向外移動生成路徑樹。FMT*能很快的找到一條路徑，但是當(dāng)我們想對這條路徑進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，只有通過加密隨機(jī)采樣點(diǎn)的方式，然而，F(xiàn)MT*是一種單批算法，面對新的采樣點(diǎn)分布時(shí)，它只能重新開始計(jì)算。 為了融合informed RRT*在有效區(qū)域集中隨機(jī)點(diǎn)的特點(diǎn)和FMT*快速生長的特點(diǎn)，就誕生了BIT*。它能夠在橢圓區(qū)域內(nèi)分批撒點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)快速生長的同時(shí)，還能自我優(yōu)化。參考https://www.youtube.com/watch?v=TQIoCC48gp4
11.1 原理 簡單來說，BIT*是結(jié)合了Informed RRT*和FMT*的優(yōu)點(diǎn)的一種算法?；仡櫼幌拢琁nformed RRT*是對RRT*的一種優(yōu)化，在RRT*生成一個(gè)初始路徑后，則以初始路徑的長度，起始點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)為焦點(diǎn)，畫一個(gè)橢圓，Informed RRT*在后續(xù)隨機(jī)采點(diǎn)時(shí)，只取落在這個(gè)橢圓內(nèi)的點(diǎn)，一次采一個(gè)點(diǎn)，重復(fù)lm次。FMT*則與RRT那一套不同，它不是邊采點(diǎn)，邊生長樹，而是一次性提前在整個(gè)區(qū)域（不包含障礙物區(qū)域）內(nèi)采lm個(gè)點(diǎn)，只重復(fù)一次。 下面我們來說說，Informed RRT*和優(yōu)缺點(diǎn)FMT*，然后就知道為什么要引出BIT*了。 先說FMT*，F(xiàn)MT*的優(yōu)點(diǎn)是從起始位置開始構(gòu)建，沒有重布線過程，因此節(jié)約時(shí)間，適用于復(fù)雜的障礙物環(huán)境。但是FMT*的缺點(diǎn)是，它只有1批，F(xiàn)MT*路徑的精度完全取決于當(dāng)前批撒點(diǎn)的密度，當(dāng)你想要提升精度時(shí)，只能重新開始一批，重新更密集的撒點(diǎn)，然后重新開始規(guī)劃。 再說Informed RRT*，Informed RRT*的優(yōu)點(diǎn)恰好彌補(bǔ)了FMT*的缺點(diǎn)，想要提升精度，只需撒更多的點(diǎn)就好了，而Informed RRT*的撒點(diǎn)過程時(shí)一直在進(jìn)行的，它一批只撒一個(gè)點(diǎn)，重復(fù)很多批，開始新的批的時(shí)候之前的信息不會被拋棄，只要Informed RRT*一直撒點(diǎn)，就可以達(dá)到任意精度。但是Informed RRT*的缺點(diǎn)也顯而易見，它需要重布線，計(jì)算效率低。 所以自然就想到，能不能利用FMT*的優(yōu)點(diǎn)，提前撒好點(diǎn)，不用重布線，提升計(jì)算效率，又能多批進(jìn)行，以不斷提升精度？當(dāng)然能，這就是BIT*算法 BIT*的過程總結(jié)為下圖：11.2 偽碼11.3 參考1、Batch Informed Trees (BIT*): Informed Asymptotically Optimal Anytime Search2、Batch Informed Trees (BIT*): Sampling-based Optimal Planning via the Heuristically Guided Search of Implicit Random Geometric Graphs
10.1 原理 在RRT中，當(dāng)初始路徑已經(jīng)生成之后，如果重點(diǎn)在初始路徑周圍進(jìn)行采樣的話，可以明顯提高路徑優(yōu)化效率。Informed RRT就是進(jìn)一步優(yōu)化了采樣函數(shù)，采樣的方式是以起點(diǎn)和終點(diǎn)為焦點(diǎn)構(gòu)建橢圓形采樣區(qū)域。 回顧一下RRT*-smart，因?yàn)樵谀硡^(qū)域撒點(diǎn)越多，該區(qū)域的優(yōu)化效果越好，而單純的RRT*是在全域內(nèi)隨機(jī)撒點(diǎn)，優(yōu)化效果沒有得以集中，RRT*-smart認(rèn)為經(jīng)過路徑優(yōu)化后的路徑的拐點(diǎn)在障礙物的附近，它認(rèn)為這個(gè)拐點(diǎn)的附近需要著重優(yōu)化，所以RRT*-smart在進(jìn)一步撒點(diǎn)的過程中，將一些隨機(jī)點(diǎn)偏袒的撒在這個(gè)拐點(diǎn)的附近鄰域。 這里的informed RRT*也是這樣認(rèn)為，它認(rèn)為單純的RRT*在整個(gè)區(qū)域內(nèi)隨機(jī)撒點(diǎn)，優(yōu)化效果太過分散，如果我能知道我最終優(yōu)化的路徑在哪一塊區(qū)域，那我就只在這一區(qū)域內(nèi)撒點(diǎn)不就好了嗎？informed RRT*就是這樣做的。注意： informed RRT*是在RRT*算法給出一條初始路徑后，對這個(gè)初始路徑繼續(xù)優(yōu)化的步驟才起作用的，它對于這個(gè)初始路徑的生成沒有幫助。10.2 思路 根據(jù)高中數(shù)學(xué)知識可以知道，在橢圓上的點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和相同，橢圓外的點(diǎn)的距離到兩焦點(diǎn)的距離之和大于橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和，橢圓內(nèi)的點(diǎn)反之。 回顧一下RRT*的搜索圖，根據(jù)上面這個(gè)知識點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)RRT在已經(jīng)得到一條可行路徑之后，可以將采樣空間收縮到一個(gè)橢圓形區(qū)域中，區(qū)域之外的點(diǎn)對于縮短規(guī)劃出的路徑長度并沒有實(shí)際價(jià)值。 informed RRT就是的主要思想就是上面這種思想，在獲取可行路徑之后，將采樣空間限制在一個(gè)橢圓形區(qū)域中，并且隨著路徑長度的不斷縮短，逐漸縮小該橢圓形區(qū)域。這個(gè)思想其實(shí)在以前就有，但是提出informed RRT的論文中提出了對這個(gè)橢圓形區(qū)域直接采樣的方法。 可能有人會直接想，這里只不過是縮小了采樣空間，并不會明顯改進(jìn)算法。但是實(shí)際上，當(dāng)拓展到高維空間時(shí)，效率的提升是巨大的。那么，如何表達(dá)這個(gè)橢圓呢？下面介紹橢圓采樣區(qū)域的表達(dá)方式方法1：先在標(biāo)準(zhǔn)橢圓的方程中采樣，再將采樣點(diǎn)旋轉(zhuǎn)平移到實(shí)際采樣區(qū)域，需要兩個(gè)矩陣：平移向量、旋轉(zhuǎn)矩陣。這兩個(gè)參數(shù)只需要在初始化時(shí)計(jì)算即可轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)為：方法2：利用超橢圓體然后在二維平面映射這里放一段.m文件取橢圓隨機(jī)點(diǎn)的代碼（思路如方法2）：除了采樣過程外，Informed RRT*的流程和RRT*是一樣的。10.3 偽碼偽代碼中是在RRT的偽代碼基礎(chǔ)上改的，標(biāo)紅的地方是informed RRT 更改的地方?？梢钥闯?，其實(shí)主體框架上面并沒有太多更改，實(shí)際上也是，主要的更改都在第七行，也就是采樣這一步。這是采樣這一步的偽代碼。informed RRT將目前已經(jīng)搜索到的最短路徑作為cbest，起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的距離作為cmin，以此構(gòu)建橢圓。當(dāng)還沒有規(guī)劃結(jié)果時(shí)，cbest為inf，也就是和經(jīng)典RRT沒有區(qū)別。10.4 程序示例程序在尋找初始路徑的過程和普通RRT*一樣，在全局域中隨機(jī)撒點(diǎn)，迭代到1282次時(shí)首次找到初始路徑，然后我們以起始點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)為焦點(diǎn)，初始路徑的長度為點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和，畫出一個(gè)橢圓：我們隨后的隨機(jī)點(diǎn)的選取范圍不再是全局域了，新采的樣本點(diǎn)被限制在這個(gè)橢圓中，下圖中的圓圈代表迭代1283-2509次的隨機(jī)點(diǎn)的分布，可見，新的隨機(jī)點(diǎn)全部被限制在橢圓中：當(dāng)?shù)?510次時(shí)，新的總長度更短的路徑被找到，，隨后，我們以起始點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)為焦點(diǎn)，以這個(gè)新的路徑的長度為到兩焦點(diǎn)的距離，畫出一個(gè)比之前更小的橢圓：同樣的，迭代次數(shù)為2510-2865次的循環(huán)中的新的隨機(jī)點(diǎn)被限制在這個(gè)新的更小的橢圓中，使隨機(jī)點(diǎn)資源進(jìn)一步集中：當(dāng)?shù)?866次時(shí)，找到一個(gè)路徑更短的路徑：10.5 參考Informed RRT*: Optimal Sampling-based Path Planning Focused via Direct Sampling of an Admissible Ellipsoidal Heuristic
9.1 原理 FMT*算法專門針對解決高維構(gòu)型空間中的復(fù)雜運(yùn)動規(guī)劃問題，它是為高密度障礙物的環(huán)境構(gòu)建的算法。該算法被證明是漸近最優(yōu)的，并且比同類型算法（RRT*）更快收斂到最優(yōu)解。FMT*算法在預(yù)先確定的概率繪制的樣本數(shù)量上執(zhí)行“惰性”動態(tài)規(guī)劃遞歸，以生長路徑樹，該路徑樹在成本到達(dá)空間中穩(wěn)定地向外移動。 FMT*的最終產(chǎn)物是一棵樹，它在連續(xù)空間中獲取一批樣本，然后它能在圖中使用惰性的動態(tài)編程搜索該樣本集合，并以此找到路徑，這也是一個(gè)漸進(jìn)最優(yōu)的解決方案，F(xiàn)MT*相比于RRT*的加速效果優(yōu)勢在高維和碰撞檢查很昂貴的情況下尤其突出。很棒的一點(diǎn)是，F(xiàn)MT*是從起始位置開始構(gòu)建，而不是像RRT*是在空間的任意位置采點(diǎn)，因?yàn)檫@可能會得到非常遠(yuǎn)的點(diǎn)或非常近的點(diǎn)，這有什么好處呢？這意味著你不必在樹中回溯以進(jìn)行重布線，因?yàn)檫@在計(jì)算上效率低下。FMT*比RRT*更好，因?yàn)樗鼊?chuàng)建的連接接近最佳，沒有重布線。 FMT*算法在預(yù)先確定的采樣點(diǎn)數(shù)量上執(zhí)行前向動態(tài)規(guī)劃遞歸，并相應(yīng)地通過在代價(jià)到達(dá)空間中穩(wěn)步向外移動生成路徑樹。FMT*執(zhí)行動態(tài)規(guī)劃遞歸，其特點(diǎn)有三個(gè)關(guān)鍵特征:·它是為磁盤連接圖量身定制的，其中兩個(gè)樣本的距離低于給定的界限（稱為連接半徑）則這兩個(gè)樣本被認(rèn)為是鄰居，因此是可連接的。·它同時(shí)執(zhí)行圖構(gòu)造和圖搜索?！榱嗽u估動態(tài)規(guī)劃遞歸中的即時(shí)成本，算法“懶惰地”忽略了障礙物的存在，每當(dāng)與新樣本的局部最優(yōu)(假設(shè)沒有障礙物)連接與障礙物相交時(shí)，該樣本就會簡單地跳過并留待以后，而不是在鄰域中尋找其他連接。注意：FMT*的樣本點(diǎn)是提前生成好的，然后把這些點(diǎn)固定，再利用這些固定好的點(diǎn)來生成行進(jìn)樹，注意區(qū)別于RRT*那一套，RRT*是生成隨機(jī)點(diǎn)的同時(shí)，生成行進(jìn)樹。9.2 算法思路上圖（a）是RRT*添加新節(jié)點(diǎn)的某一步，上圖（b）（c）是FMT*添加新節(jié)點(diǎn)的某一步。 先看RRT*，節(jié)點(diǎn)9是新考慮的節(jié)點(diǎn)，它在第一次重布線時(shí)，需要從它的所有鄰居節(jié)點(diǎn)中找出一個(gè)父節(jié)點(diǎn)，使得節(jié)點(diǎn)9到達(dá)起始節(jié)點(diǎn)的cost最小，因此節(jié)點(diǎn)9需要計(jì)算它到4、5、6、8號節(jié)點(diǎn)的距離并同時(shí)進(jìn)行碰撞檢測，因此，第一次重布線過程就要求待加入的節(jié)點(diǎn)對它的所有鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行一次碰撞檢測，第二次重布線過程也需要計(jì)算距離和碰撞檢測，但這在第一次重布線過程中做過了，可以記錄先來直接利用，因此第二次重布線過程碰撞檢測這一步可以不用重復(fù)進(jìn)行，因此，總的來說，RRT*每新加入一個(gè)節(jié)點(diǎn)，該節(jié)點(diǎn)需要對它的所有鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行一次碰撞檢測。 再看FMT*，上圖（b）（c）中的x就是新考慮的節(jié)點(diǎn)，在圖（b）中，x需計(jì)算它到集合V_open中所有的鄰居節(jié)點(diǎn)的cost，但不需要進(jìn)行碰撞檢測，從中選擇一個(gè)能使它到達(dá)初始節(jié)點(diǎn)總cost最小的節(jié)點(diǎn)作為它的父節(jié)點(diǎn)，然后，對它和這個(gè)父節(jié)點(diǎn)的連線進(jìn)行碰撞檢測，如果能通過碰撞檢測，則加入x，若不能，則下一個(gè)x，因此，總的來說，F(xiàn)MT*每新加入一個(gè)節(jié)點(diǎn)，永遠(yuǎn)只需要進(jìn)行一次碰撞檢測。FMT*比RRT*每新加入一個(gè)節(jié)點(diǎn)需要進(jìn)行的碰撞檢測次數(shù)少得多，而且FMT*也是漸進(jìn)最優(yōu)的，這就是FMT*相比于RRT*的優(yōu)勢所在。9.3 偽碼9.4 程序示例下圖中的 圓圈代表提前采好的隨機(jī)點(diǎn)9.5 參考Fast Marching Tree: a Fast Marching Sampling-Based Method for Optimal Motion Planning in Many Dimensions?
8.1 原理 最初，RRT*-Smart 像 RRT* 一樣隨機(jī)搜索狀態(tài)空間。類似地，找到第一條路徑就像 RRT* 會嘗試通過配置空間中的隨機(jī)采樣來找到路徑一樣。一旦找到第一條路徑，它就會通過互連直接可見的節(jié)點(diǎn)來優(yōu)化它。此優(yōu)化路徑產(chǎn)生用于智能采樣的偏置點(diǎn)。在這些偏置點(diǎn)，采樣以規(guī)則的間隔進(jìn)行 隨著算法的進(jìn)展和路徑的不斷優(yōu)化，此過程將繼續(xù)進(jìn)行。每當(dāng)找到更短的路徑時(shí)，偏差就會轉(zhuǎn)向新路徑。 RRT*是一邊生長一邊優(yōu)化的，RRT*的重心在于找到最優(yōu)路徑。RRT*樹生長到能連接起點(diǎn)和終點(diǎn)后，這就已經(jīng)有一條初始路徑了。 這顆RRT*樹可以繼續(xù)生長，越生長可以得到的路徑相比初始路徑會越優(yōu)。然而，這個(gè)繼續(xù)生長的過程對于RRT*而言效率非常低，由此衍生出RRT*-smart算法，專門解決這一問題。 注意到，RRT*-smart是在RRT*算法已生成初始路徑后，在此基礎(chǔ)上，想對初始路徑繼續(xù)優(yōu)化的步驟才起作用，所以RRT*-smart對于生成初始路徑并沒有加速幫助。 RRT*-smart的優(yōu)勢在于：它專注于提升路徑接近障礙物拐點(diǎn)處的優(yōu)化速度。RRT*-smart算法的思路是這樣的：在原始RRT*算法的基礎(chǔ)上加了兩步：①路徑優(yōu)化路徑優(yōu)化的本質(zhì)是利用三角形兩邊之和大于第三邊 假設(shè)RRT*生成的初始路徑長這樣 具體操作如下： 一旦RRT*給出了一條初始路徑，將初始路徑中彼此可見的節(jié)點(diǎn)直接相連。迭代過程從xgoal開始，向xinit檢查與每個(gè)節(jié)點(diǎn)的連續(xù)父節(jié)點(diǎn)的直接連接，直到無沖突條件失敗。下圖給出一個(gè)示例。 信標(biāo)（Z_beacons）：經(jīng)過路徑優(yōu)化后的路徑中除了起點(diǎn)和終點(diǎn)之外的節(jié)點(diǎn)，標(biāo)記為信標(biāo)（Z_beacons），如上圖中的綠點(diǎn)。②智能采樣在RRT*算法中，在生成初始路徑后，在此RRT*樹的基礎(chǔ)上繼續(xù)采點(diǎn)，采點(diǎn)越多，路徑優(yōu)化效果越好，但此采點(diǎn)，是完全隨機(jī)的采點(diǎn)，因此效率低下，RRT*-smart則不是完全隨機(jī)的采點(diǎn)。在RRT*-smart算法中，利用了這樣一種思想：智能采樣背后的想法是通過生成盡可能靠近障礙物頂點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)來接近最優(yōu)性。在基于采樣的RRT*-smart中，路徑僅沿著靠近障礙物拐點(diǎn)的外圍進(jìn)行優(yōu)化，解決的辦法就是：在障礙物拐點(diǎn)的外圍多多采點(diǎn)。如下圖所示： 問：那么RRT*-smart如何實(shí)現(xiàn)在障礙物拐點(diǎn)的外圍多多采點(diǎn)呢？答：利用①路徑優(yōu)化過程中給出的信標(biāo)（Z_beacons）。一旦找到初始路徑，智能采樣就會開始，在以Z beacons為中心的半徑為R beacons的球中直接生成一定數(shù)量的樣本。采樣偏向于這些信標(biāo)，因?yàn)樗鼈兲峁┝擞嘘P(guān)障礙物頂點(diǎn)（或圓形障礙物的外圍）位置的有用線索。因此，這些信標(biāo)需要被最大節(jié)點(diǎn)包圍，以優(yōu)化這些轉(zhuǎn)彎處的路徑。與 RRT* 相比，這一特征迫使所提出的算法以更少的迭代次數(shù)達(dá)到最優(yōu)解。注意：信標(biāo)（Z_beacons）是需要隨著優(yōu)化路徑的更新而更新的。即當(dāng)z_goal.cost變小時(shí)，說明路徑得到了優(yōu)化，那么就要啟用之前①路徑優(yōu)化算法來重新確定新的z_beacons。 8.2 偽碼 8.3 程序示例下圖中的線段代表由RRT*生成的初始RRT樹，圓圈代表在初始RRT樹基礎(chǔ)上，繼續(xù)采點(diǎn)的分布，可見在幾個(gè)“拐點(diǎn)處”的圓形領(lǐng)域內(nèi)我們有額外的采點(diǎn)以加強(qiáng)在這部分的采點(diǎn) 路徑優(yōu)化后確定出拐點(diǎn) 經(jīng)過路徑優(yōu)化后的路徑： 8.4 參考1、RRT*-SMART: A Rapid Convergence Implementation of RRT*2、Rapid convergence implementation of RRT* towards optimal solution
7.1 原理 RRT*是一種基于采樣的最優(yōu)化路徑規(guī)劃方式，與RRT的區(qū)別是，RRT盡量使新節(jié)點(diǎn)以及其周圍的節(jié)點(diǎn)到起點(diǎn)的cost(可以是路徑或者時(shí)間等目標(biāo)函數(shù))最短，而不是僅僅尋找離它近的節(jié)點(diǎn)，而且在找到路徑后不會停止，而是繼續(xù)進(jìn)行采樣來優(yōu)化得到的路徑。 盡管RRT算法是一個(gè)相對高效率，同時(shí)可以較好的處理帶有非完整約束的路徑規(guī)劃問題的算法，并且在很多方面有很大的優(yōu)勢，但是RRT算法并不能保證所得出的可行路徑是相對優(yōu)化的。因此許多關(guān)于RRT算法的改進(jìn)也致力于解決路徑優(yōu)化的問題，RRT*算法就是其中一個(gè)。RRT*算法的主要特征是能快速的找出初始路徑，之后隨著采樣點(diǎn)的增加，不斷地進(jìn)行優(yōu)化直到找到目標(biāo)點(diǎn)或者達(dá)到設(shè)定的最大循環(huán)次數(shù)。RRT*算法是漸進(jìn)優(yōu)化的，也就是隨著迭代次數(shù)的增加，得出的路徑是越來越優(yōu)化的，而且永遠(yuǎn)不可能在有限的時(shí)間中得出最優(yōu)的路徑。因此換句話說，要想得出相對滿意的優(yōu)化路徑，是需要一定的運(yùn)算時(shí)間的。所以RRT*算法的收斂時(shí)間是一個(gè)比較突出的研究問題。但不可否認(rèn)的是，RRT*算法計(jì)算出的路徑的代價(jià)相比RRT來說減小了不少。RRT*算法與RRT算法的區(qū)別主要在于兩個(gè)針對新節(jié)點(diǎn) xnew 的重計(jì)算過程，分別為：·重新為 xnew 選擇父節(jié)點(diǎn)的過程·重布線隨機(jī)樹的過程7.1.1 重新選擇父節(jié)點(diǎn)過程 在新產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn) xnew 附近以定義的半徑范圍內(nèi)尋找“近鄰”，作為替換 xnew 父節(jié)點(diǎn)的備選。依次計(jì)算“近鄰”節(jié)點(diǎn)到起點(diǎn)的路徑代價(jià)加上 xnew 到每個(gè)“近鄰”的路徑代價(jià)，具體過程見上圖。 圖(a)中表現(xiàn)的是隨機(jī)樹擴(kuò)展過程中的一個(gè)時(shí)刻，節(jié)點(diǎn)標(biāo)號表示產(chǎn)生該節(jié)點(diǎn)的順序，0節(jié)點(diǎn)是初始節(jié)點(diǎn)，9節(jié)點(diǎn)是新產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn) xnew，6節(jié)點(diǎn)是產(chǎn)生9節(jié)點(diǎn)的 xnear，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間連接的邊上數(shù)字代表兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的歐氏距離(這里我們用歐氏距離來表示路徑代價(jià))。 在重新找父節(jié)點(diǎn)的過程中，以9節(jié)點(diǎn) xnew 為圓心，以事先規(guī)定好的半徑，找到在這個(gè)圓的范圍內(nèi) xnew 的近鄰，也就是4，5，8節(jié)點(diǎn)。 原來的路徑0 - 4 - 6 - 9代價(jià)為10 + 5 + 1 = 16，備選的三個(gè)節(jié)點(diǎn)與 xnew 組成的路徑0 - 1 - 5 - 9，0 - 4 - 9和0 - 1 - 5 - 8 - 9代價(jià)分別為3 + 5 + 3 = 11，10 + 4 = 14和3 + 5 + 1 + 3 = 12，因此如果5節(jié)點(diǎn)作為9節(jié)點(diǎn)的新父節(jié)點(diǎn)，則路徑代價(jià)相對是最小的，因此我們把9節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)由原來的節(jié)點(diǎn)4變?yōu)楣?jié)點(diǎn)5，則重新生成的隨機(jī)樹如圖(b)所示。7.1.2 重布線隨機(jī)樹過程 在為xnew 重新選擇父節(jié)點(diǎn)之后，為進(jìn)一步使得隨機(jī)樹節(jié)點(diǎn)間連接的代價(jià)盡量小，為隨機(jī)樹進(jìn)行重新布線。過程示意如上圖重布線的過程也可以被表述成：如果近鄰節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)改為 xnew 可以減小路徑代價(jià)，則進(jìn)行更改。 如圖(c)，9節(jié)點(diǎn)為新生成的節(jié)點(diǎn) xnew ，近鄰節(jié)點(diǎn)分別為節(jié)點(diǎn)4 , 6 , 8 。它們父節(jié)點(diǎn)分別為節(jié)點(diǎn)0 , 4 , 5。路徑分別為0 - 4，0 - 4 - 6，0 - 1 - 5 - 8，代價(jià)分別為10，10 + 5 = 15 和3 + 5 + 1 = 9。 如果將4節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)改為9節(jié)點(diǎn) xnew ，則到達(dá)節(jié)點(diǎn)4的路徑變?yōu)? - 1 - 5 - 9 - 4，代價(jià)為3 + 5 + 3 + 4 = 15 大于原來的路徑代價(jià)10，因此不改變4節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。 同理，改變了8節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)，路徑代價(jià)將由原來的9變?yōu)?4，也不改變8節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。如果改變6節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)為 xnew 則路徑變?yōu)? - 1 - 5 - 9 - 6，代價(jià)為3 + 5 + 3 + 1 = 12小于原來的路徑代價(jià)15，因此將6的父節(jié)點(diǎn)改為節(jié)點(diǎn)9，生成的新隨機(jī)樹如圖(d)。 重布線過程的意義在于每當(dāng)生成了新的節(jié)點(diǎn)后，是否可以通過重新布線，使得某些節(jié)點(diǎn)的路徑代價(jià)減少。如果以整體的眼光看，并不是每一個(gè)重新布線的節(jié)點(diǎn)都會出現(xiàn)在最終生成的路徑中，但在生成隨機(jī)樹的過程中，每一次的重布線都盡可能的為最終路徑代價(jià)減小創(chuàng)造機(jī)會。 RRT*算法的核心在于上述的兩個(gè)過程：重新選擇父節(jié)點(diǎn)和重布線。這兩個(gè)過程相輔相成，重新選擇父節(jié)點(diǎn)使新生成的節(jié)點(diǎn)路徑代價(jià)盡可能小，重布線使得生成新節(jié)點(diǎn)后的隨機(jī)樹減少冗余通路，減小路徑代價(jià)。7.2 偽碼7.3 程序示例7.4 參考1、Sampling-based Algorithms for Optimal Motion Planning2、https://blog.csdn.net/weixin_43795921/article/details/88557317#t03、https://zhuanlan.zhihu.com/p/51087819
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