“優(yōu)化”是生活中經(jīng)常使用的詞：開車時(shí)希望能在安全的前提下以最短時(shí)間到達(dá)目的地；雙11做功課考慮各種優(yōu)惠活動(dòng)，希望獲得最大優(yōu)惠；超市進(jìn)貨時(shí)需要考慮動(dòng)銷存，最大化提高物品周轉(zhuǎn)效率。 這些問題都是“最優(yōu)化問題”，也是數(shù)學(xué)建模中的典型問題，是各大數(shù)學(xué)建模比賽里的?？?。

      優(yōu)化題型有三要素：決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。

      （1）決策變量：是決策者可以控制的因素，例如根據(jù)不同的實(shí)際問題，決策變量可以選為產(chǎn)品的產(chǎn)量、物資的運(yùn)量及工作的天數(shù)等。

      （2） 目標(biāo)函數(shù)：是以函數(shù)形式來表示決策者追求的目標(biāo)。例如目標(biāo)可以是利潤最大或成本最小等。

      （3） 約束條件：是決策變量需要滿足的限定條件。

      歷年國賽優(yōu)化問題：

      優(yōu)化問題的出發(fā)點(diǎn)是系統(tǒng)思維，其基本思路是在一定的約束條件下，保證各方面資源的合理分配， 最大限度地提升系統(tǒng)某一性能或系統(tǒng)整體性能，最終實(shí)現(xiàn)最理想結(jié)果。對(duì)于這類問題，想要建立并求解數(shù)學(xué)模型，可以參考以下思路：

      （1）明確目標(biāo)，分析問題背景，確定約束條件，搜集全面的客觀數(shù)據(jù)和信息。

      （2）建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，設(shè)立目標(biāo)函數(shù)。

      （3）分析數(shù)學(xué)模型，綜合選擇最適合該模型的優(yōu)化方法。

      （4）求解模型，通常借助計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)分析軟件完成。

      （5）對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行檢驗(yàn)和實(shí)施。

      PS.北太天元內(nèi)已有優(yōu)化工具箱optimization，可以調(diào)用工具箱解決優(yōu)化類問題。

      下面給大家分享幾種數(shù)學(xué)建模中常用優(yōu)化算法：

      1、線性規(guī)劃

      在人們的生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常會(huì)遇到如何利用現(xiàn)有資源來安排生產(chǎn)，以取得最大經(jīng)濟(jì)效益的問題。此類問題構(gòu)成了運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支—數(shù)學(xué)規(guī)劃，而線性規(guī)劃(Linear Programming 簡記 LP)則是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)重要分支。

      1.1 用北太天元求解線性規(guī)劃問題

      北太天元內(nèi)已有優(yōu)化工具箱optimization，其中的linprog等相關(guān)函數(shù)可用于求解線性規(guī)劃問題。

      1.2 線性規(guī)劃特點(diǎn)

      優(yōu)點(diǎn)：

      （1）作為經(jīng)營管理決策中的數(shù)學(xué)手段，在現(xiàn)代決策中的應(yīng)用非常廣泛。

      （2）有統(tǒng)一算法，任何線性規(guī)劃問題都能求解，解決多變量最優(yōu)決策的方法。

      （3）訓(xùn)練速度快。

      （4）預(yù)測(cè)速度快，可以推廣到非常大的數(shù)據(jù)集，對(duì)稀疏數(shù)據(jù)也很有效。

      缺點(diǎn)：

      （1）對(duì)于數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性要求高，只能對(duì)線性的問題進(jìn)行規(guī)劃約束，而且計(jì)算量大。

      1.3 相關(guān)問題

      運(yùn)輸問題(產(chǎn)銷平衡)、指派問題（匈牙利算法）、對(duì)偶理論與靈敏度分析、投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)。

      2、整數(shù)規(guī)劃

      規(guī)劃中的變量（部分或全部）限制為整數(shù)時(shí)，稱為整數(shù)規(guī)劃。若在線性規(guī)劃模型中，變量限制為整數(shù)，則稱為整數(shù)線性規(guī)劃。目前所流行的求解整數(shù)規(guī)劃的方法，往往只適用于整數(shù)線性規(guī)劃。目前還沒有一種方法能有效地求解一切整數(shù)規(guī)劃。

      2.1 用北太天元求解線性混合整數(shù)規(guī)劃問題

      可在北太天元內(nèi)調(diào)用優(yōu)化工具箱optimization，使用intlinprog等相關(guān)函數(shù)求解線性混合整數(shù)規(guī)劃問題。

      2.2 整數(shù)規(guī)劃的分類

      如不加特殊說明，一般指整數(shù)線性規(guī)劃。對(duì)于整數(shù)線性規(guī)劃模型大致可分為兩類：

      （1）變量全限制為整數(shù)時(shí)，稱純（完全）整數(shù)規(guī)劃。

      （2）變量部分限制為整數(shù)的，稱混合整數(shù)規(guī)劃。

      2.3 整數(shù)規(guī)劃特點(diǎn)

      原線性規(guī)劃有最優(yōu)解，當(dāng)自變量限制為整數(shù)后，其整數(shù)規(guī)劃解出現(xiàn)下述情況：

      （1）原線性規(guī)劃最優(yōu)解全是整數(shù)，則整數(shù)規(guī)劃最優(yōu)解與線性規(guī)劃最優(yōu)解一致。

      （2）整數(shù)規(guī)劃無可行解。

      （3）有可行解（當(dāng)然就存在最優(yōu)解），但最優(yōu)解值變差。

      整數(shù)規(guī)劃最優(yōu)解不能按照實(shí)數(shù)最優(yōu)解簡單取整而獲得。

      2.4 求解方法分類

      （1）分枝定界法—可求純或混合整數(shù)線性規(guī)劃。

      （2）割平面法—可求純或混合整數(shù)線性規(guī)劃。

      （3）隱枚舉法—求解“0-1”整數(shù)規(guī)劃：過濾隱枚舉法；分枝隱枚舉法。

      （4）匈牙利法—解決指派問題（“0-1”規(guī)劃特殊情形）。

      （5）蒙特卡洛法—求解各種類型規(guī)劃。

      3、非線性規(guī)劃

      如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件中包含非線性函數(shù)，就稱這種規(guī)劃問題為非線性規(guī)劃問題。一般說來，解非線性規(guī)劃要比解線性規(guī)劃問題困難得多。而且，也不象線性規(guī)劃有單純形法這一通用方法，非線性規(guī)劃目前還沒有適于各種問題的一般算法，各個(gè)方法都有自己特定的適用范圍。

      3.1 線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃的區(qū)別

      如果線性規(guī)劃的最優(yōu)解存在，其最優(yōu)解只能在其可行域的邊界上達(dá)到（特別是可行域的頂點(diǎn)上達(dá)到）；而非線性規(guī)劃的最優(yōu)解（如果最優(yōu)解存在）則可能在其可行域的任意一點(diǎn)達(dá)到。

      3.2 相關(guān)問題

      無約束問題（一維搜索方法、二次插值法、無約束極值問題的解法）、約束極值問題（二次規(guī)劃、罰函數(shù)法）、飛行管理問題

      4、動(dòng)態(tài)規(guī)劃

      動(dòng)態(tài)規(guī)劃（dynamic programming）是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，是求解決策過程（decisionprocess）最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。例如最短路線、庫存管理、資源分配、設(shè)備更新、排序、裝載等問題，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法比用其它方法求解更為方便。

      雖然動(dòng)態(tài)規(guī)劃主要用于求解以時(shí)間劃分階段的動(dòng)態(tài)過程的優(yōu)化問題，但是一些與時(shí)間無關(guān)的靜態(tài)規(guī)劃（如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃），只要人為地引進(jìn)時(shí)間因素，把它視為多階段決策過程，也可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法方便地求解。應(yīng)指出，動(dòng)態(tài)規(guī)劃是求解某類問題的一種方法，是考察問題的一種途徑，而不是一種特殊算法（如線性規(guī)劃是一種算法）。因而，它不象線性規(guī)劃那樣有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式和明確定義的一組規(guī)則，而必須對(duì)具體問題進(jìn)行具體分析處理。因此，在學(xué)習(xí)時(shí)，除了要對(duì)基本概念和方法正確理解外，應(yīng)以豐富的想象力去建立模型，用創(chuàng)造性的技巧去求解。

      5、多目標(biāo)規(guī)劃

      多目標(biāo)規(guī)劃已經(jīng)應(yīng)用到科學(xué)的許多領(lǐng)域，包括工程、經(jīng)濟(jì)和物流，在兩個(gè)或更多沖突的目標(biāo)之間存在取舍時(shí)，需要采取最優(yōu)決策。

      解決多目標(biāo)規(guī)劃問題的方法：

      （1）將多目標(biāo)化為單目標(biāo) (給多個(gè)目標(biāo)賦予權(quán)重)

      （2）保持多目標(biāo)不變，根據(jù)自己的偏好選擇解

      實(shí)際問題中，目標(biāo)函數(shù)相互沖突是很常見的，例如購買汽車時(shí)，要求花費(fèi)少且舒適度高或者要求性能好油耗低，這種問題并沒有絕對(duì)最優(yōu)解（因?yàn)椴]有確定多個(gè)目標(biāo)的權(quán)值），但是我們可以根據(jù)自己的需要選擇一個(gè)相對(duì)好的（達(dá)到我們想要的最佳平衡）。為了尋求這種“最佳平衡”，可以采用算法帕累托最優(yōu)（Pareto optimal）。

      以上部分內(nèi)容引用公眾號(hào)“科研交流”，希望對(duì)大家有幫助，覺得有用就點(diǎn)個(gè)贊吧。小助手會(huì)不定期更新數(shù)學(xué)建模干貨，可以多多關(guān)注喲。