以下內(nèi)容為盧朓老師在B站進(jìn)行的分享，可以作為學(xué)習(xí)參考：

      在科學(xué)與工程的廣闊領(lǐng)域里，優(yōu)化問(wèn)題無(wú)處不在，它們挑戰(zhàn)著我們的智慧和計(jì)算能力。其中，旅行商問(wèn)題（TSP，Traveling Salesman Problem）便是一個(gè)經(jīng)典而富有挑戰(zhàn)性的優(yōu)化難題。在這個(gè)問(wèn)題中，一位旅行商需要訪問(wèn)一系列城市，并找到一條從起點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)所有城市后返回起點(diǎn)的最短路徑。隨著城市數(shù)量的增加，問(wèn)題的復(fù)雜度呈爆炸式增長(zhǎng)，尋找最優(yōu)解變得異常困難。

旅行商問(wèn)題的挑戰(zhàn)

      旅行商問(wèn)題的難度在于其計(jì)算量的巨大。當(dāng)城市數(shù)量較少時(shí)，我們還可以嘗試通過(guò)窮舉所有可能的路徑來(lái)找到最短路徑。但是，隨著城市數(shù)量的增加，可能的路徑數(shù)量呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，窮舉法變得不切實(shí)際。例如，當(dāng)有10個(gè)城市時(shí)，可能的路徑數(shù)量就已經(jīng)達(dá)到了3628800條！對(duì)于更多的城市，計(jì)算量更是驚人。

模擬退火算法：大自然的啟示

      為了應(yīng)對(duì)這一挑戰(zhàn)，科學(xué)家們開(kāi)發(fā)了各種啟發(fā)式搜索算法，其中模擬退火算法便是一種非常有效的方法。這種算法借鑒了物理學(xué)中固體退火的原理。正如金屬在加熱后再緩慢冷卻的過(guò)程中，原子會(huì)逐漸排列成有序的結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到最低的能量狀態(tài)，模擬退火算法也通過(guò)模擬這一過(guò)程來(lái)尋找問(wèn)題的最優(yōu)解。

      在算法開(kāi)始時(shí)，我們?cè)O(shè)定一個(gè)較高的“溫度”，并隨機(jī)生成一個(gè)可能的解作為當(dāng)前解。然后，算法會(huì)在這個(gè)解的“鄰域”內(nèi)隨機(jī)探索新的解。如果新解比當(dāng)前解更優(yōu)（即路徑更短），我們就接受這個(gè)新解。如果新解不如當(dāng)前解，我們也有一定的概率接受它，這個(gè)概率隨著溫度的降低而逐漸減小。這個(gè)過(guò)程就像金屬在退火過(guò)程中，即使有時(shí)原子會(huì)排列成能量較高的狀態(tài)，但隨著溫度的降低，它們最終還是會(huì)趨于最低能量狀態(tài)。通過(guò)不斷地探索和優(yōu)化，模擬退火算法能夠逐漸找到越來(lái)越接近最優(yōu)解的解決方案。

代碼實(shí)現(xiàn)：模擬退火求解旅行商問(wèn)題

      接下來(lái)，我們將通過(guò)一段北太天元代碼來(lái)展示如何使用模擬退火算法求解旅行商問(wèn)題。這段代碼首先生成了一系列隨機(jī)分布的城市（或點(diǎn)），并計(jì)算了每對(duì)城市之間的距離。然后，它使用模擬退火算法來(lái)找到一條近似最短路徑。

%北太天元 用模擬退火法 求解 旅行商 問(wèn)題% 生成num_points個(gè)隨機(jī)點(diǎn)的經(jīng)緯度  
num_points = 10;  longitudes = rand(num_points, 1) * 360 - 180; % 隨機(jī)經(jīng)度在-180到180之間  
latitudes = rand(num_points, 1) * 180 - 90; % 隨機(jī)緯度在-90到90之間    % 將經(jīng)緯度保存到sj.txt文件中  
fileID = fopen('sj.txt', 'w');  
for i = 1:num_points      
fprintf(fileID, '%f\t%f\n', longitudes(i), latitudes(i));  end  fclose(fileID);      
disp('sj.txt文件已生成，包含10個(gè)隨機(jī)點(diǎn)的經(jīng)緯度。');  % 讀取數(shù)據(jù)  
sj0 = readmatrix('sj.txt');  
x = sj0(:,[1:2:end]);  y = sj0(:,[2:2:end]);  sj = [x, y];  d1 = [70, 40];  sj = [d1; sj; d1];  sj = deg2rad(sj);    % 初始化距離矩陣  
d = zeros(num_points+2);    % 計(jì)算距離矩陣  
for i = 1:num_points+1    for j = i+1:num_points+2          
d(i,j) = 6370 * acos(cos(sj(i,1)-sj(j,1)) .* cos(sj(i,2)) .* cos(sj(j,2)) + sin(sj(i,2)) .* sin(sj(j,2)));      
end  end  d = d + d';    % 初始化路徑和路徑長(zhǎng)度  
path = 1:num_points+2;  long = sum(d(sub2ind(size(d),path(1:end-1),path(2:end))));    % 模擬退火算法參數(shù) 
e = 1e-10;  L = 20000;  at = 0.8;  T = 1;  % 模擬退火過(guò)程  
for k = 1:L      
for i = 1:num_points          
temp = path;          
m = randperm(num_points,2);         
 temp( [m(1)+1,m(2)+1] ) = path([m(2)+1,m(1)+1]); % 交換路徑中的兩個(gè)點(diǎn)         
  temp_long = sum(d(sub2ind(size(d),temp(1:end-1),temp(2:end))));          
  if temp_long < long || (long - temp_long) / T > log(rand)              
  path = temp;             
   long = temp_long;          
   end      end      T = T * at;      
   if T < e          break;      end  end    % 輸出結(jié)果  
   xx = sj(path,1);  yy = sj(path,2);  
   plot(rad2deg(xx), rad2deg(yy), '-o');  xlabel('經(jīng)度'); 
   ylabel('緯度');
   hold on;scatter(rad2deg(xx(1)),rad2deg(yy(1)),'r')for i = 1:length(path)      
   text(rad2deg(xx(i)), rad2deg(yy(i)), 
   sprintf('%d', i), 'Color', 'red');  
   end hold off;disp(['總路徑長(zhǎng)度為：', num2str(long), ' km']);  
   disp(['所需時(shí)間為：', num2str(long / 1000), ' 小時(shí)']); % 假設(shè)飛機(jī)速度為1000km/h

      這段代碼通過(guò)模擬退火算法的不斷迭代和優(yōu)化，最終輸出了一條近似最短路徑以及總路徑長(zhǎng)度。盡管由于問(wèn)題的復(fù)雜性和計(jì)算量的限制，我們無(wú)法保證找到的解是最優(yōu)的，但模擬退火算法通常能夠給出一個(gè)非常接近最優(yōu)解的解決方案。

結(jié)語(yǔ)

      模擬退火算法作為一種啟發(fā)式搜索算法，在解決旅行商問(wèn)題等復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題方面展現(xiàn)出了強(qiáng)大的能力。通過(guò)模擬物理退火過(guò)程，它能夠在龐大的解空間中高效地探索并找到近似最優(yōu)解。盡管隨著城市數(shù)量的增加，旅行商問(wèn)題的計(jì)算量仍然是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)，但模擬退火算法為我們提供了一種有效的應(yīng)對(duì)策略。在未來(lái)的研究和應(yīng)用中，我們可以進(jìn)一步優(yōu)化和改進(jìn)這一算法，以應(yīng)對(duì)更加復(fù)雜和龐大的優(yōu)化問(wèn)題。

      p.s. 這里還假設(shè)飛機(jī)和目標(biāo)點(diǎn)都是地球表面, 而且飛機(jī)總是貼著地球表面飛行,因還涉及到地球表面上的兩個(gè)位置點(diǎn)之間的距離(不是三維空間的直線距離,而是貼著球面兩點(diǎn)連線之間的最短距離, 也就是測(cè)地線的長(zhǎng)度), 因此中學(xué)生朋友還請(qǐng)參考 北太天元科普: 測(cè)地線 - 嗶哩嗶哩 (bilibili.com)

      p.s. 上面的代碼用文心一言進(jìn)行解讀

      這段代碼是一個(gè)使用模擬退火算法（Simulated Annealing）來(lái)解決旅行商問(wèn)題（Traveling Salesman Problem, TSP）的MATLAB(或者北太天元)腳本。旅行商問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的組合優(yōu)化問(wèn)題，目標(biāo)是找到一條經(jīng)過(guò)所有城市并返回起點(diǎn)的最短路徑。下面是對(duì)代碼的詳細(xì)解讀：

1. 生成隨機(jī)點(diǎn)：

2. num_points = 10; 定義了點(diǎn)的數(shù)量為10。

3. longitudes 和 latitudes 分別生成了10個(gè)隨機(jī)經(jīng)度和緯度，經(jīng)度范圍在-180到180之間，緯度范圍在-90到90之間。

4. 保存點(diǎn)到文件：

5. 將生成的經(jīng)緯度保存到sj.txt文件中，每行一個(gè)點(diǎn)，經(jīng)度在前，緯度在后。

6. 讀取數(shù)據(jù)并初始化：

7. 讀取sj.txt文件中的數(shù)據(jù)，并將其轉(zhuǎn)換為弧度制（deg2rad），同時(shí)將出發(fā)點(diǎn)和終點(diǎn)設(shè)置為(70, 40)。

8. 計(jì)算距離矩陣：

9. 初始化一個(gè)num_points+2維的零矩陣d（包括出發(fā)點(diǎn)和終點(diǎn)）。

10. 使用球面距離公式計(jì)算每對(duì)點(diǎn)之間的距離，并填充到距離矩陣d中。

11. 繪圖顯示：

12. 使用scatter函數(shù)在地圖上顯示所有的點(diǎn)，并使用text函數(shù)在每個(gè)點(diǎn)旁邊顯示其編號(hào)（除了出發(fā)點(diǎn)和終點(diǎn)）。

13. 初始化路徑和路徑長(zhǎng)度：

14. 初始化路徑為按順序訪問(wèn)每個(gè)點(diǎn)，并計(jì)算這個(gè)路徑的總長(zhǎng)度。

15. 模擬退火算法：

16. 設(shè)置模擬退火算法的參數(shù)，包括溫度T、冷卻率at、結(jié)束溫度e和迭代次數(shù)L。

17. 在每次迭代中，隨機(jī)選擇兩個(gè)點(diǎn)交換它們?cè)诼窂街械奈恢?，?jì)算新路徑的長(zhǎng)度。

18. 如果新路徑比當(dāng)前路徑短，或者滿足一定的概率條件，則接受新路徑。

19. 更新溫度，如果溫度低于結(jié)束溫度，則結(jié)束迭代。

20. 輸出結(jié)果：

21. 繪制最終路徑的地圖，并在每個(gè)點(diǎn)旁邊顯示其編號(hào)。

22. 顯示總路徑長(zhǎng)度和假設(shè)飛機(jī)速度為1000km/h時(shí)的所需時(shí)間。

      總的來(lái)說(shuō)，這段代碼展示了如何使用模擬退火算法來(lái)解決旅行商問(wèn)題，包括生成隨機(jī)點(diǎn)、計(jì)算距離矩陣、使用模擬退火算法尋找最短路徑，并繪制結(jié)果地圖和顯示路徑長(zhǎng)度和所需時(shí)間。