以下內(nèi)容轉(zhuǎn)自盧朓老師嗶哩嗶哩

       在復(fù)雜多變的自然界與工程領(lǐng)域中，多尺度多物理場現(xiàn)象無處不在，它們跨越了從微觀粒子到宏觀系統(tǒng)的廣闊尺度，涉及力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、化學(xué)反應(yīng)等多個物理過程的相互作用。為了準確理解和預(yù)測這些現(xiàn)象，科學(xué)家們和工程師們不斷探索著建模的新方法，其中，基于物理規(guī)律的模型與基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的模型成為了兩大主流方向。本文將帶您走進這一領(lǐng)域，探討如何結(jié)合兩者優(yōu)勢，有效模擬多尺度多物理場場景，并指出在此過程中應(yīng)注意的關(guān)鍵點。

       一、物理規(guī)律模型：自然界的基石

       物理規(guī)律模型，顧名思義，是基于我們對自然界基本物理定律的理解而構(gòu)建的。這些模型從牛頓力學(xué)到量子力學(xué)，從麥克斯韋方程組到熱力學(xué)定律，為我們提供了描述和預(yù)測物理現(xiàn)象的強大工具。在多尺度多物理場建模中，物理規(guī)律模型能夠準確捕捉系統(tǒng)內(nèi)部的物理機制，確保模擬結(jié)果的科學(xué)性和可靠性。

       然而，面對極端復(fù)雜的系統(tǒng)，如氣候變化、材料老化、生物體內(nèi)部生理過程等，單純依賴物理規(guī)律模型往往面臨計算量大、參數(shù)難以精確獲取等挑戰(zhàn)。此時，數(shù)據(jù)驅(qū)動的模型便顯得尤為重要。

       二、數(shù)據(jù)驅(qū)動模型：大數(shù)據(jù)時代的利器

       回顧人類探索自然規(guī)律的歷史，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的收集與分析始終是推動科學(xué)進步的重要力量。早期，科學(xué)家們通過觀察、測量和簡單的數(shù)學(xué)運算，發(fā)現(xiàn)了自然界中許多基本的物理和化學(xué)規(guī)律。這些規(guī)律往往表現(xiàn)為兩個或多個變量之間的簡單關(guān)系，如線性關(guān)系、反比關(guān)系、指數(shù)關(guān)系等。為了處理這些關(guān)系，科學(xué)家們創(chuàng)造性地運用了取對數(shù)、求導(dǎo)數(shù)等數(shù)學(xué)技巧，將復(fù)雜關(guān)系轉(zhuǎn)化為更易處理的線性形式。

       下面給出一些前人發(fā)現(xiàn)的規(guī)律: 

       勾股定理：在中國古代，《周髀算經(jīng)》中早有記載“勾三股四弦五”，這實際上是對勾股定理的一種樸素表達。古人通過實際測量直角三角形的邊長，發(fā)現(xiàn)了直角邊（勾、股）與斜邊（弦）之間存在的特定比例關(guān)系，即勾的平方加股的平方等于弦的平方。這一發(fā)現(xiàn)不僅體現(xiàn)了古代中國人民的智慧，也為后來的幾何學(xué)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

       圓周率的估算：中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，通過“割圓術(shù)”的方法，不斷將圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)加倍，從而逼近圓的周長和面積，進而估算圓周率。雖然他沒有直接給出圓周率的精確數(shù)值，但他的方法已經(jīng)蘊含了極限的思想，為后來祖沖之精確計算出圓周率小數(shù)點后七位數(shù)字奠定了基礎(chǔ)。

       天體運行的觀測：古人通過長期觀測天體的運行，積累了豐富的天文數(shù)據(jù)。例如，《石氏星經(jīng)》等古代天文著作中，詳細記錄了星星的位置、亮度以及它們隨時間的變化。這些觀測數(shù)據(jù)不僅幫助古人編制了精確的星圖，還為后來的天文學(xué)家如張衡等人研究天體運行的規(guī)律提供了重要依據(jù)。雖然他們并未明確提出萬有引力等現(xiàn)代物理學(xué)概念，但他們的觀測和記錄無疑是對天體運動規(guī)律的早期探索。唐代天文學(xué)家僧一行更是利用這些數(shù)據(jù)，進行了一次重要的天文觀測——測量地球子午線的長度。僧一行在唐玄宗開元十二年（公元724年）發(fā)起了一次大規(guī)模的天文大地測量，他組織人員在南北十三個地點測量北極星仰角(觀測北極星的仰角,也就是視線方向與水平方向的夾角)，通過比較同一時刻不同地點的北極星仰角差，結(jié)合數(shù)學(xué)計算，推算出地球子午線一度之長。這一發(fā)現(xiàn)對于理解地球的形狀和大小具有重要意義，雖然當時并未直接給出具體的公里數(shù)，但根據(jù)現(xiàn)代學(xué)者的推算，僧一行測得的子午線一度長度與現(xiàn)代測量值相當接近，這一成就不僅展示了古代中國天文學(xué)的高度發(fā)達，也為后來的天文學(xué)和地理學(xué)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。雖然他們并未明確提出萬有引力等現(xiàn)代物理學(xué)概念，但他們的觀測和記錄無疑是對天體運動規(guī)律的早期深刻探索。

       然而，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進步，我們所面對的系統(tǒng)日益復(fù)雜，傳統(tǒng)的線性分析方法顯得力不從心。多尺度多物理場現(xiàn)象的出現(xiàn)，更是對傳統(tǒng)的建模方法提出了嚴峻挑戰(zhàn)。這些現(xiàn)象涉及多個尺度的相互作用和多種物理場的耦合，其動態(tài)行為往往表現(xiàn)出高度的非線性和非平穩(wěn)性。

       正是在這樣的背景下，數(shù)據(jù)驅(qū)動模型應(yīng)運而生，并迅速成為解決復(fù)雜問題的重要手段。與基于物理定律的模型不同，數(shù)據(jù)驅(qū)動模型不依賴于對系統(tǒng)內(nèi)部機制的深入理解，而是直接從觀測數(shù)據(jù)中提取信息，通過統(tǒng)計學(xué)習(xí)、機器學(xué)習(xí)或深度學(xué)習(xí)等方法，自動發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的隱藏規(guī)律和模式。

       在數(shù)據(jù)驅(qū)動模型中，機器學(xué)習(xí)算法尤其是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用極大地擴展了模型處理復(fù)雜關(guān)系的能力。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過模擬人腦神經(jīng)元之間的連接和信息傳遞方式，能夠?qū)W習(xí)并表示高度非線性的函數(shù)關(guān)系。與傳統(tǒng)的多項式回歸、支持向量機等線性或近似線性模型相比，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠捕捉數(shù)據(jù)中的細微差異和復(fù)雜交互作用，從而更準確地預(yù)測系統(tǒng)的未來行為。

       此外，隨著計算能力的不斷提升和大數(shù)據(jù)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，數(shù)據(jù)驅(qū)動模型的訓(xùn)練和優(yōu)化過程變得更加高效和可靠。大規(guī)模并行計算和分布式存儲技術(shù)的發(fā)展使得處理海量數(shù)據(jù)成為可能，而先進的優(yōu)化算法和正則化技術(shù)則有助于防止模型過擬合，提高模型的泛化能力。

       數(shù)據(jù)驅(qū)動模型通過收集和分析大量觀測數(shù)據(jù)，利用先進的機器學(xué)習(xí)算法和強大的計算能力，為我們提供了一種靈活高效的方法來探索復(fù)雜系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律。這種方法不僅拓寬了我們尋找規(guī)律的視野和范圍，還為我們理解和預(yù)測自然界中的多尺度多物理場現(xiàn)象提供了新的思路和工具。

       三、融合之路：物理規(guī)律與數(shù)據(jù)驅(qū)動的協(xié)同作用

       為了更全面地模擬多尺度多物理場場景，科學(xué)家們開始探索物理規(guī)律模型與數(shù)據(jù)驅(qū)動模型的融合之路。這種融合不是簡單的疊加，而是基于兩者優(yōu)勢的互補和協(xié)同。具體來說，可以通過以下方式實現(xiàn)：

       參數(shù)校準：利用數(shù)據(jù)驅(qū)動模型對物理規(guī)律模型中的未知參數(shù)進行校準，提高模型的準確性和適用性。

       模型修正：在物理規(guī)律模型的基礎(chǔ)上，引入數(shù)據(jù)驅(qū)動模塊來修正模型中的簡化假設(shè)或忽略因素，使模型更加貼近實際。

       混合建模：根據(jù)系統(tǒng)不同部分的特點，分別采用物理規(guī)律模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動模型進行建模，并通過接口實現(xiàn)兩者之間的無縫連接和協(xié)同工作。

       在科學(xué)研究與工程應(yīng)用中，多尺度建模是一個至關(guān)重要的領(lǐng)域，它允許我們從最基本的物理原理出發(fā)，構(gòu)建出能夠描述從宏觀到微觀不同尺度現(xiàn)象的模型。這種建模方法的一個核心思想是從第一原理（即自然界最基本的、不依賴于其他任何假設(shè)或經(jīng)驗的原理）出發(fā)，通過合理的假設(shè)和近似，推導(dǎo)出適用于更宏觀尺度的模型。

       以統(tǒng)計力學(xué)為例，它基于微觀粒子的運動規(guī)律（如分子間的相互作用、碰撞等），通過統(tǒng)計平均的方法，推導(dǎo)出描述大量粒子集體行為的宏觀物理量（如溫度、壓力、熱容等）。在這個過程中，矩封閉技術(shù)（如BBGKY層級截斷）被用來簡化復(fù)雜的統(tǒng)計分布函數(shù)，從而得到易于處理且具有一定預(yù)測能力的矩模型。特別地，從Boltzmann輸運方程出發(fā)，通過一系列近似和推導(dǎo)，可以得到描述半導(dǎo)體中載流子運動的漂移-擴散方程，這一方程在電子器件的模擬中發(fā)揮著重要作用。

       另一方面，分子動力學(xué)模擬則直接從原子或分子的相互作用力出發(fā)，通過數(shù)值積分求解牛頓運動方程，模擬出系統(tǒng)隨時間演化的軌跡。雖然這種方法能夠精確地捕捉到微觀尺度的動態(tài)過程，但計算成本高昂，且難以直接應(yīng)用于宏觀尺度的預(yù)測。因此，科學(xué)家們常常從分子動力學(xué)模擬中提取出統(tǒng)計信息，構(gòu)建出能夠描述系統(tǒng)宏觀性質(zhì)的方程，如Navier-Stokes方程用于描述流體流動，或彈性力學(xué)方程用于描述固體材料的力學(xué)行為。

       在計算化學(xué)領(lǐng)域，多粒子系統(tǒng)的量子力學(xué)描述起始于薛定諤方程，這是一個精確但難以直接求解的方程。為了克服這一困難，密度泛函理論（DFT）及其中的Kohn-Sham方程提供了一種可行的近似方法。在Kohn-Sham方程中，復(fù)雜的多體相互作用被簡化為一個有效的單粒子勢（即交換關(guān)聯(lián)勢），這個勢可以通過多種公式來近似，其中一些是基于嚴格的物理原理推導(dǎo)出來的，而另一些則是通過擬合實驗數(shù)據(jù)或其他高精度計算結(jié)果來獲得的。這種結(jié)合物理原理和數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法，使得DFT成為計算化學(xué)和材料科學(xué)中不可或缺的工具。

       綜上所述，從第一原理出發(fā)構(gòu)建多尺度模型的過程，不僅體現(xiàn)了科學(xué)探索的嚴謹性和邏輯性，也展示了物理學(xué)、化學(xué)和工程學(xué)等領(lǐng)域中數(shù)據(jù)驅(qū)動建模與物理原理建模相結(jié)合的思想。隨著計算能力的提升和數(shù)據(jù)資源的豐富，這種結(jié)合方法將在未來發(fā)揮更加重要的作用，推動我們對自然界復(fù)雜現(xiàn)象的理解和應(yīng)用。

       四、注意事項

       充分發(fā)揮數(shù)據(jù)驅(qū)動模型的潛力，首先必須確保數(shù)據(jù)的質(zhì)量，它是模型準確性與可靠性的基石。與此同時，模型的驗證環(huán)節(jié)同樣至關(guān)重要。無論是基于深厚的物理定律構(gòu)建的模型，還是完全依賴于數(shù)據(jù)驅(qū)動的模型，都需經(jīng)過嚴格驗證，以確保其能夠真實反映現(xiàn)實世界并做出有效預(yù)測。此外，面對多尺度多物理場建模這一復(fù)雜挑戰(zhàn)，計算資源的合理配置與高效利用成為不可或缺的基礎(chǔ)設(shè)施，而跨學(xué)科合作則為解決這一難題提供了創(chuàng)新思路與多元視角。

       數(shù)據(jù)質(zhì)量：數(shù)據(jù)驅(qū)動模型的核心基石

       數(shù)據(jù)質(zhì)量是數(shù)據(jù)驅(qū)動模型能否準確反映現(xiàn)實世界并做出有效預(yù)測的關(guān)鍵所在。數(shù)據(jù)的準確性意味著每個數(shù)據(jù)點都應(yīng)真實反映其代表的物理量或現(xiàn)象，任何偏差都可能導(dǎo)致模型輸出的誤導(dǎo)。完整性則要求數(shù)據(jù)覆蓋所有必要的方面，避免信息缺失導(dǎo)致模型理解片面。此外，數(shù)據(jù)的代表性同樣重要，它確保模型訓(xùn)練所依據(jù)的數(shù)據(jù)集能夠全面且公平地反映目標系統(tǒng)的整體特性。對于精度不高的數(shù)據(jù)，預(yù)處理和降噪步驟成為提升數(shù)據(jù)質(zhì)量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。通過去除噪聲、填充缺失值、標準化或歸一化處理，可以顯著提高數(shù)據(jù)的可用性和模型的訓(xùn)練效果。因此，在構(gòu)建數(shù)據(jù)驅(qū)動模型之前，對數(shù)據(jù)質(zhì)量的嚴格把控是不可或缺的一步。

       模型驗證：確保模型可靠性的關(guān)鍵步驟

       無論是基于物理規(guī)律的模型還是數(shù)據(jù)驅(qū)動的模型，在應(yīng)用于實際問題之前，都必須經(jīng)過嚴格的驗證過程。模型驗證不僅是對模型預(yù)測能力的檢驗，更是確保模型能夠準確反映現(xiàn)實世界的必要手段。驗證過程通常包括將模型預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)進行對比，以評估模型的準確性和可靠性。此外，敏感性分析也是驗證過程中的重要環(huán)節(jié)，它通過分析模型參數(shù)變化對預(yù)測結(jié)果的影響，揭示模型的穩(wěn)健性和潛在的不確定性。通過綜合應(yīng)用多種驗證方法，可以全面評估模型的性能，為模型的實際應(yīng)用提供有力支持。

       計算資源：支撐大規(guī)模模擬的基礎(chǔ)設(shè)施

       多尺度多物理場建模由于涉及多個尺度和物理場的相互作用，往往需要進行大規(guī)模的計算。這些計算不僅要求處理海量的數(shù)據(jù)，還需要解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)方程和物理過程。因此，合理配置計算資源成為確保模擬效率和穩(wěn)定性的關(guān)鍵。高性能計算集群、云計算平臺等先進計算技術(shù)的引入，為大規(guī)模模擬提供了強有力的支持。通過優(yōu)化計算資源的分配和利用，可以顯著提高模擬的速度和精度，為科學(xué)研究和工程應(yīng)用提供更加可靠的數(shù)據(jù)支持。同時，隨著計算技術(shù)的不斷發(fā)展，未來將有更多先進的計算工具和方法涌現(xiàn)出來，進一步推動多尺度多物理場建模的發(fā)展。

       跨學(xué)科合作：融合智慧共創(chuàng)未來

       多尺度多物理場建模涉及物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)等多個學(xué)科領(lǐng)域的知識，需要不同領(lǐng)域的專家共同合作才能取得突破性進展?？鐚W(xué)科合作不僅能夠促進知識交流和思想碰撞，還能夠充分利用各領(lǐng)域的專業(yè)優(yōu)勢，形成互補效應(yīng)。在合作過程中，不同學(xué)科的專家可以共同制定研究方案、分享數(shù)據(jù)資源、討論技術(shù)難題，從而推動模型的構(gòu)建和優(yōu)化。此外，跨學(xué)科合作還有助于培養(yǎng)具有廣泛視野和跨學(xué)科能力的復(fù)合型人才，為未來的科學(xué)研究和技術(shù)創(chuàng)新提供有力的人才保障。因此，加強跨學(xué)科合作是推動多尺度多物理場建模發(fā)展的關(guān)鍵途徑之一。

       結(jié)語

       多尺度多物理場建模是科學(xué)研究和工程應(yīng)用中的一項重要任務(wù)，它要求我們不斷探索和創(chuàng)新建模方法。通過融合物理規(guī)律模型與數(shù)據(jù)驅(qū)動模型的優(yōu)勢，我們可以更加全面、準確地模擬復(fù)雜系統(tǒng)，為預(yù)測未來、優(yōu)化設(shè)計和解決實際問題提供有力支持。在這個過程中，我們需要注意數(shù)據(jù)質(zhì)量、模型驗證、計算資源以及跨學(xué)科合作等關(guān)鍵點，以確保建模工作的順利進行和成果的有效應(yīng)用。

       案例：Bangbang控制與混合建模在車輛速度控制中的應(yīng)用

       在控制理論中，Bangbang控制是一種簡單而有效的控制策略，它通過在最大和最小控制輸入之間切換來實現(xiàn)對系統(tǒng)的快速調(diào)節(jié)。然而，在實際應(yīng)用中，理論模型往往無法完全描述系統(tǒng)的所有動態(tài)特性，特別是在復(fù)雜多變的物理環(huán)境中。以車輛速度控制為例，我們可以通過混合建模的方法，將Bangbang控制與實時數(shù)據(jù)融合，以實現(xiàn)更精確和魯棒的控制。

       背景介紹

       假設(shè)我們有一輛自動駕駛汽車，其任務(wù)是在規(guī)定時間內(nèi)從A點加速到指定速度，然后在接近目的地B點時減速停車。為了簡化問題，我們首先考慮一個基本的常微分方程來描述車輛的加速度與速度之間的關(guān)系。但顯然，這個方程需要考慮到實際駕駛中的各種外部因素，如風(fēng)阻、路面摩擦等。

       理論模型建立

       首先，我們建立一個簡化的車輛動力學(xué)模型：

       其中，v 是車輛速度，a 是加速度。然而，這個模型忽略了風(fēng)阻等關(guān)鍵因素，因此在實踐中可能不夠準確。

       為了改進模型，我們引入風(fēng)阻項，得到更貼近實際的動力學(xué)方程：

      其中，ρ 是空氣密度，C_d 是阻力系數(shù)，A 是迎風(fēng)面積，m 是車輛質(zhì)量。

      Bangbang控制策略

      接下來，我們應(yīng)用Bangbang控制策略來控制車輛的加速度。在這個策略下，車輛要么以最大加速度前進，要么以最大減速度剎車，具體取決于當前速度與目標速度的比較：

      數(shù)據(jù)融合與混合建模 盡管我們有了包含風(fēng)阻的動力學(xué)模型和Bangbang控制策略，但模型仍然可能無法完全捕捉實際駕駛中的所有動態(tài)變化。因此，我們需要通過安裝在車輛上的速度測試儀來獲取實時速度數(shù)據(jù)，并將這些數(shù)據(jù)與模型預(yù)測相結(jié)合。 這里，我們可以使用卡爾曼濾波器或其他數(shù)據(jù)融合技術(shù)來整合模型預(yù)測和傳感器數(shù)據(jù)?？柭鼮V波器能夠基于系統(tǒng)的動態(tài)模型和測量噪聲的統(tǒng)計特性，對系統(tǒng)的狀態(tài)進行最優(yōu)估計。在車輛速度控制中，這意味著濾波器可以根據(jù)動力學(xué)模型的預(yù)測和速度測試儀的測量值，實時更新對車輛當前速度的最優(yōu)估計。 

      【解釋北太天元卡爾曼濾波代碼中的幾個公式】 https://www.bilibili.com/video/BV1SR4y1Q7jV/?share_source=copy_web&;vd_source=2adc5aa7a702b808eb8b31dbd210f954

      【北太天元上實現(xiàn)卡曼濾波(Kalman fiter)算法的小算例】 https://www.bilibili.com/video/BV1Z8411e78G/?share_source=copy_web&;vd_source=2adc5aa7a702b808eb8b31dbd210f954

      實施與驗證 

       在實際應(yīng)用中，我們將Bangbang控制策略與混合模型（結(jié)合了理論動力學(xué)模型和實時數(shù)據(jù)）集成到自動駕駛汽車的控制系統(tǒng)中。系統(tǒng)會根據(jù)目標速度、當前速度以及外部因素（如風(fēng)阻）來動態(tài)調(diào)整加速度，確保車輛能夠安全、準確地到達目的地。 通過在實際道路上進行測試和驗證，我們可以不斷優(yōu)化控制參數(shù)和模型參數(shù)，以提高系統(tǒng)的魯棒性和適應(yīng)性。最終，這種混合建模與控制方法將使我們能夠更好地應(yīng)對復(fù)雜多變的駕駛環(huán)境，推動自動駕駛技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用。

       結(jié)論 

       本案例展示了如何將Bangbang控制與混合建模方法應(yīng)用于車輛速度控制中。通過結(jié)合理論模型、實時數(shù)據(jù)和先進的數(shù)據(jù)融合技術(shù)，我們能夠?qū)崿F(xiàn)更加精確和魯棒的控制效果。這種方法不僅適用于車輛控制領(lǐng)域，還可以推廣到其他需要精確控制和適應(yīng)復(fù)雜環(huán)境的自動化系統(tǒng)中。