一、 最小二乘原理介紹

最小二乘法是一種常見的數(shù)學方法，用于解決線性回歸問題。它可以用來估計因變量（目標變量）與自變量之間的線性關(guān)系，即通過已知的一組數(shù)據(jù)來確定未知的回歸方程。

具體來說，最小二乘法的目標是找到一條直線（或者更一般的曲線），使得這條直線與已知數(shù)據(jù)點的距離平方和最小。這條直線的方程稱為回歸方程，可以用來預測因變量的值。

最小二乘法的原理是通過最小化誤差平方和來確定回歸方程的系數(shù)。誤差指的是已知數(shù)據(jù)點到回歸直線的距離，也就是因變量的真實值與預測值之間的差異。通過最小化誤差平方和，可以找到最優(yōu)的回歸系數(shù)，使得預測值與真實值之間的誤差最小。

在實際應用中，最小二乘法常常用于數(shù)據(jù)擬合和預測。例如，在金融領(lǐng)域，最小二乘法可以用來預測股票價格和交易量；在工程領(lǐng)域，最小二乘法可以用來擬合實驗數(shù)據(jù)和優(yōu)化設計參數(shù)。

在計算中，最小二乘法可以通過矩陣運算來求解。具體來說，可以使用線性代數(shù)中的矩陣求解方法，例如求解矩陣的逆或者使用QR分解。在北太天元中，可以使用polyfit函數(shù)來實現(xiàn)最小二乘法求解線性回歸問題。

二、 根據(jù)最小二乘原理進行多項式擬合

原始數(shù)據(jù)點為，根據(jù)最小二乘法進行多項式擬合：

(1) 設擬合多項式為

(2) 各點到這條曲線的距離之和，即誤差平方和為：

(3) 根據(jù)最小二乘原理，等式右邊求ai偏導數(shù)：

(4) 化簡得：

(5) 化成矩陣形式：

(6) 化簡得

(7) 求解上述方程組，即可得到系數(shù)矩陣，從而得到擬合多項式。

三、 基于北太天元實現(xiàn)最小二乘法，并對比擬合結(jié)果與polyfit結(jié)果

 附錄代碼：

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close all
clc
N=10;%多項式階數(shù)
%原始數(shù)據(jù)點
X=10:0.05:15;
M=length(X);
p=[5.6,2.5,3.3,0.18,0.29,2.4,4.8,1.2,7.1,1];
Y=zeros(1,M);
for i=1:10
    Y=Y+p(i)*X.^(i-1);
end
% Y=Y+unifrnd(-2e9,2e9,1,M);
%多項式擬合
X1=zeros(N+1,M);
for i=1:M
    X1(1,i)=1;
end
for i=2:N+1
    X1(i,:)=power(X,i-1);   %構(gòu)造系數(shù)矩陣
end
XX=X1';
P_n=(XX'*XX)\XX'*Y';
X_n=min(X):max(X);
Y_n=zeros(1,length(X_n));
for i=1:N+1
    Y_n=Y_n+P_n(i)*X_n.^(i-1);
end
%polyfit
P=zeros(1,N);
P=polyfit(X,Y,N);
X_polyfit=zeros(1,M);
Y_polyfit=zeros(1,M);
X_polyfit=linspace(min(X),max(X),M);
Y_polyfit=polyval(P,X_polyfit);
figure(1);
plot(X,Y,'.');
hold on
plot(X_n,Y_n,'g');
hold on
plot(X_polyfit,Y_polyfit,'r');
legend('原始數(shù)據(jù)點','多項式擬合','polyfit','Location','northwest');